Přímočaré pohyby

Vodorovný pohyb

Podívejme se nejprve na situaci, kdy pomocí lana táhneme stálou rychlostí těleso po vodorovné podložce (viz obrázek 15.8). Jestliže táhneme lano silou o velikosti \(F\) pod úhlem \(\alpha\), jak velké jsou třecí síla a kolmá tlaková síla?

Podle prvního Newtonova zákona víme, že v případě pohybu rovnoměrného přímočarého se všechny síly působící na těleso navzájem vyruší. Můžeme tedy tento zákon zapsat ve vektorové podobě následujícím způsobem:

Síly však působí různými směry. Jak můžeme vypočítat jejich velikosti? Zvolme si nejprve kartézskou souřadnicovou soustavu, ve které přejdeme od jedné vektorové rovnice ke dvěma skalárním. Zvolme osu \(x\) ve směru pohybu. Zde tedy vodorovnou. Osa \(y\) je k ní kolmá, kladný směr volme směrem vzhůru. Vidíme, že tři ze čtyř sil působí ve směru souřadnicových os, pouze tažná síla \(\Vec{F}_\mathrm{tah}\) působí pod úhlem \(\alpha\) vzhledem k vodorovné rovině, vzhledem ke směru osy \(x\). Průměty sil, a stejně tak jakýchkoliv jiných vektorů, hledáme tak, že se podíváme na silový diagram a porovnáváme jejich směr se směrem souřadnicových os. Pokud síla působí v kladném směru dané osy, zapíšeme jako zde \(+F_\mathrm{N}\) ve směru osy \(y\). Pokud působí v záporném směru dané osy, zapíšeme jako zde \(-F_\mathrm{G}\). Jestliže je síla kolmá na danou osu, je její průmět v tomto směru nulový (viz třecí síla \(F_\mathrm{t}\) ve směru svislém). Celkem tedy dostáváme ve směru obou os dvě rovnice:

Pro velikosti složek tahové síly \(\Vec{F}_\mathrm{tah}\) platí

proto pro velikost třecí síly získáváme \(F_\mathrm{t}=F_x=F_\mathrm{tah}\cos\alpha\). Z druhé rovnice pak vyjádříme velikost kolmé tlakové síly pomocí \(F_\mathrm{N}=F_\mathrm{G}-F_y=F_\mathrm{G}-F_\mathrm{tah}\sin\alpha\).

Ukázali jsme si postup, který ještě mnohokrát využijeme. Jestliže síly nepůsobí stejným směrem, zapíšeme Newtonovy zákony ve složkách jednotlivých souřadnicových os.

Kontrolní otázka

Na následujícím obrázku jsou znázorněny dvě síly. Určete pro každou z nich jejich složky ve směru os soustavy souřadnic. Velikosti sil i jejich složek jsou v N (1 dílek znázorňuje 1 N). Uvádějte hodnotu včetně jednotky.

1) \(F_{1x} =\)

2) \(F_{1y} =\)

3) \(F_{2x} =\)

4) \(F_{2y} =\)

Odeslat

Kontrolní otázka

Na následujícím obrázku jsou znázorněny dvě síly. Určete pro každou z nich jejich složky ve směru os soustavy souřadnic. Velikosti sil i jejich složek jsou v N (1 dílek znázorňuje 1 N).

1) \(F_{1x} =\)

2) \(F_{1y} =\)

3) \(F_{2x} =\)

4) \(F_{2y} =\)

Odeslat

Kontrolní otázka

Na následujícím obrázku jsou znázorněny dvě síly. Určete pro každou z nich jejich složky ve směru os soustavy souřadnic. Velikosti sil i jejich složek jsou v N (1 dílek znázorňuje 1 N).

1) \(F_{1x} =\)

2) \(F_{1y} =\)

3) \(F_{2x} =\)

4) \(F_{2y} =\)

Odeslat

V předchozí úvaze jsme znali pohyb tělesa a odvozovali z něj velikosti působících sil. Newtonovy zákony však lze použít i obráceně. Dokážeme-li určit síly, které na těleso působí, můžeme z nich odvodit pohybový stav tělesa a předvídat jeho další vývoj.

Nakloněná rovina

Začněme tím, co dobře známe – lyžováním, sáňkováním nebo jízdou na kole. Sjíždíme kopec, pro nás fyziky nakloněnou rovinu, a rychlost narůstá. Co je příčinou zrychlování? Bude rychlost narůstat neustále, nebo dosáhneme po určité době maximální velikosti? Pro jednoduchost nahrazujeme zakřivený svah nakloněnou rovinou.

I když se může problém zdát složitý, jde stále jen o pohyb v jednom směru, ve směru svahu, na kterém lyžujeme (ve směru nakloněné roviny). Proto i volba souřadnicového systému je trochu specifická. Kladný směr osy \(x\) obvykle volíme ve směru pohybujícího se tělesa. Pohyb ve směru osy \(y\) tedy nenastává, a matematický popis úlohy je jednodušší.

Příklad 1

Podívejme se na zjednodušenou situaci, kdy se sáňkař pohybuje v ledovém korytě bez tření (viz obrázek 15.12). Předpokládejme, že dráha má tvar nakloněné roviny se sklonem \(\alpha=18^\circ\) vůči vodorovnému směru. Sáňkař i se saněmi má hmotnost \(m=105\ \mathrm{kg}\). Předchozí jízdou a dobrým startem již získal rychlost 75 km/h. Jaký bude jeho pohyb na nakloněné rovině? Jak velkou tlakovou silou působí dráha na sáňkaře?

Řešení:

Nejprve si situaci zakresleme do schématu (obrázek 15.13). Jediné dvě síly, které na sáňkaře působí, zanedbáme-li tření a odpor vzduchu, jsou tíhová síla \(\Vec{F}_\mathrm{G}\) a kolmá tlaková síla \(\Vec{F}_\mathrm{N}\). Jejich složením vznikne výslednice \(\Vec{F}\), která má konstantní směr i velikost. Působí ve směru pohybu sáňkaře, a přispívá tudíž k tomu, že se jeho rychlost zvyšuje.

Abychom dokázali jeho pohyb dobře popsat, zakresleme si do obrázku soustavu kartézských souřadnic. Protože se sáňkař pohybuje pouze v jednom směru, bude výhodnější, když osa \(x\) bude rovnoběžná s nakloněnou rovinou a orientována ve směru pohybu. Osa \(y\) bude tedy kolmá k nakloněné rovině. Její směr zvolme vzhůru (viz obrázek 15.13).

Druhý Newtonův zákon můžeme zapsat pomocí rovnice \(\Vec{F}_\mathrm{G}+\Vec{F}_\mathrm{N}=m\Vec{a}\). Tuto vektorovou rovnici následně rozepíšeme z pohledu obou souřadnicových os. Hledejme průměty působících sil a vektorů do směrů os \(x\) a \(y\). Kolmá tlaková síla \(\Vec{F}_\mathrm{N}\) směřuje v kladném směru osy \(y\) a promítne se tedy pouze do kladného směru této osy. Síla tíhová \(\Vec{F}_\mathrm{G}\) bude mít dvě složky: \(F_{\mathrm{G}x}\) směřující ve směru pohybu a určující zrychlení sáňkaře, zatímco složka \(F_{\mathrm{G}y}\) bude směřovat v záporném směru osy \(y\) a vyruší se s kolmou tlakovou silou. V tomto směru žádný pohyb nenastává (drobné nerovnosti dráhy neuvažujeme), tudíž i zrychlení ve směru osy \(y\) je nulové. Přejdeme ke skalárním rovnicím ve směrech souřadnicových os:

\[ \begin{aligned} x\colon&& F_{\mathrm{G}x} + 0 &= ma_x\\ y\colon&& -F_{\mathrm{G}y} + F_\mathrm{N} &= m\cdot0\\ \end{aligned} \]

Pro velikost složek tíhové síly můžeme dále z pravoúhlého trojúhelníku ABC vyjádřit

\[ \sin\alpha=\frac{F_{\mathrm{G}x}}{F_\mathrm{G}} \quad\hbox{a}\quad \cos\alpha=\frac{F_{\mathrm{G}y}}{F_\mathrm{G}}\;, \]

odkud pak vyjádříme velikosti jednotlivých složek:

\[ \begin{aligned} F_{\mathrm{G}x}&=F_\mathrm{G}\sin\alpha=mg\sin\alpha\\ F_{\mathrm{G}y}&=F_\mathrm{G}\cos\alpha=mg\cos\alpha\\ \end{aligned} \]

Vektor zrychlení má pouze složku x-ovou, protože se závodník pohybuje pouze ve směru nakloněné roviny, osy \(x\). Zrychlení vyjádříme ve tvaru \(\Vec{a}=(a_x,a_y)=(g\sin\alpha,0)\). Pohyb sáňkaře po nakloněné rovině bez tření je tedy rovnoměrně zrychlený a velikost zrychlení závisí na sklonu nakloněné roviny vztahem \(a=a_x=g\sin\alpha\).

Pro velikost kolmé tlakové síly pak platí \(F_\mathrm{N}=F_{\mathrm{G}y}=mg\cos\alpha\). Po dosazení tedy vidíme, že velikost zrychlení sáňkaře je \(a=3{,}0\ \mathrm{m/s}^2\) a velikost kolmé tlakové síly \(F_\mathrm{N}=980\ \mathrm{N}\).

Chcete-li v úloze dále pokračovat, zjistěte, jakou bude mít závodník rychlost na konci této 40 m dlouhé nakloněné roviny. Jak to zjistíme?

Jestliže je pohyb sáňkaře přímočarý a rovnoměrné zrychlený, pro jeho rychlost platí

\[ v=at+v_0=g\sin\alpha+v_0\;. \]

Vzdálenost \(d\) uražená sáňkařem na nakloněné rovině při rovnoměrně zrychleném pohybu je vyjádřena vztahem

\[ d = \frac12at^2+v_0t=\frac12g\sin\alpha\cdot t^2+v_0t\;, \]

kde \(v_0\) je rychlost sáňkaře na počátku nakloněné roviny v čase \(t=0\ \mathrm{s}\).

Nejprve z druhé rovnice vypočítáme dobu jeho pohybu na dráze \(d=40\ \mathrm{m}\).

\[ \frac12g\sin\alpha\cdot t^2+v_0t-d=0\;. \]

Po dosazení:

\[ \begin{aligned} \frac12\cdot9{,}8\cdot\sin(18^\circ)\cdot t^2+20{,}8t-40 &= 0\\ 1{,}51\cdot t^2+20{,}8t-40 &= 0\\ \end{aligned} \]

Řešení této kvadratické rovnice jsou dvě: \(t=-15{,}4\ \mathrm{s}\) a \(t=1{,}71\ \mathrm{s}\). Zajímat nás bude jenom kladné řešení, čas pro nás začal plynout v okamžiku, kdy sáňkař vjel na nakloněnou rovinu. Jeho okamžitá rychlost po uplynutí tohoto času bude

\[ v(t=1{,}71\ \mathrm{s}) = 9{,}81\cdot\sin(18^\circ)\cdot1{,}71+20{,}8=26{,}0\ \mathrm{m/s}=93{,}6\ \mathrm{km/h} \]

Zajímá vás, jak se bude sáňkař pohybovat v případě, že na něj bude působit odporová a třecí síla? Přečtěte si následující poznámku na okraj.

Poznámka na okraj: Pohyb po nakloněné rovině se třením

Chceme-li studovat reálný pohyb sáňkaře, musíme počítat se třením a odporovou silou. Metoda řešení je stejná. Použijeme druhý Newtonův zákon ve vektorové podobě a potom ho rozepíšeme do složek jednotlivých souřadných os.

Na závodníka \(m=105\ \mathrm{kg}\) bude působit tření mezi ledem a skluznicemi saní a také odporová síla vzduchu. Předpokládejme, že tyto síly jsou v naší úvaze konstantní a nezávislé na rychlosti sáňkaře. Řeknete si, že tomu tak ve skutečnosti není, a máte pravdu. Již ve 4. kapitole jsme ukázali, že odporová síla je úměrná druhé mocnině rychlosti. Takový výpočet je však značně komplikovaný, a proto si zavádíme tato zjednodušení. Podrobný výpočet, kdy na těleso působí proměnná síla, je uveden v laboratorní úloze této kapitoly.

Vezměme tedy například \(F_\mathrm{t}=50\ \mathrm{N}\) (\(f=0{,}05\)) a \(F_\mathrm{O}=15\ \mathrm{N}\). Ledové koryto je stále skloněno o 18° vůči vodorovnému směru a počáteční rychlost sáňkaře je 75 km/h. Jak se v tomto případě změní jeho rychlost na úseku o délce 40 m?

Druhý Newtonův zákon nám říká, že součet všech sil působících na těleso je roven součinu hmotnosti tělesa a jeho zrychlení:

\[ \sum_i \Vec{F}_i = m\Vec{a} \]

V případě sáňkaře na nakloněné rovině máme tedy tyto průměty do os \(x\) a \(y\):

\[ \begin{aligned} x\colon&& F_{\mathrm{G}x} - F_\mathrm{t} - F_\mathrm{O} &= ma_x\\ y\colon&& -F_{\mathrm{G}y} + F_\mathrm{N} &= m\cdot0\\ \end{aligned} \]

Odtud můžeme vyjádřit složky zrychlení sáňkaře

\[ \Vec{a} = \left(g(\sin\alpha-f\cos\alpha)-\frac{F_\mathrm{O}}m;0\right) = (2{,}42; 0)\ \mathrm{m}\cdot\mathrm{s}^{-2}\;. \]

Opět se můžeme zabývat pouze pohybem ve směru osy \(x\). Rovnice pro rychlost sáňkaře má tvar

\[ v = at+v_0\;. \]

Dráhu \(d\) vyjádříme podobně jako v předchozím případě

\[ d=\frac12\left[g(\sin\alpha-f\cos\alpha)-\frac{F_\mathrm{O}}m\right]t^2+v_0t \]

Po číselném dosazení mají tyto rovnice tvar

\[ \begin{aligned} v&=2{,}42t+20{,}8\\ 40&=1{,}21t^2+20{,}8t\\ \end{aligned} \]

Řešením druhé (kvadratické) rovnice \(1{,}21t^2+20{,}8t-40=0\) jsou časy \(t_1=-18{,}9\ \mathrm{s}\) a \(t_2=1,75\ \mathrm{s}\). Čas \(t_2\) odpovídá době pohybu sáňkaře na nakloněné rovině o délce 40 m. Proto tento čas dosadíme do první rovnice a vypočítáme rychlost sáňkaře po projetí této části ledového koryta:

\[ v=2{,}42\cdot1{,}75+20{,}8=25{,}0\ \mathrm{m/s}=90\ \mathrm{km/h}\;. \]

Vidíme, že i když na závodníka působí dvě brzdné síly, jeho pohyb je stále zrychlený a rychlost narůstá poměrně rychle. Nakonec se ale vraťme k původním předpokladům o konstantní odporové síle. Ve skutečnosti bude narůstat s rostoucí rychlostí, až vyrovná průmět tíhové síly. Poté bude sáňkař pokračovat pohybem rovnoměrným a jeho rychlost již narůstat nebude.

Jaký je vlastně rozdíl mezi předchozími dvěma situacemi? Studovali jsme pohyb se třením a bez něj. Se třením na těleso působí více sil, výraz pro velikost zrychlení je komplikovanější, ale metoda řešení úlohy je stejná jako v případě „bez tření“: nejprve znázorníme všechny síly, které na těleso působí, podle druhého Newtonova zákona je sečteme, rozkladem sil ve směru souřadnicových os nalezneme složky vektoru zrychlení, a protože zde jde o pohyb v jednom směru, popisujeme ho pomocí jedné rovnice \(x=f(t)\).

Vrhy

Ocitneme se v trochu jiné situaci, když budeme studovat vrhy. O vrzích hovoříme, jestliže nás zajímá pohyb tělesa v homogenním tíhovém poli Země. Předpokládáme, že na těleso působí pouze tíhová síla. Odpor vzduchu tedy zanedbáváme. Můžeme rozlišit, zda je tělesu udělena počáteční rychlost a jaký má směr. Podle toho rozlišíme volné pády (nulová počáteční rychlost) a vrhy svislé, vodorovné či šikmé. Vrhy svislý, vodorovný a šikmý se liší právě směrem počáteční rychlosti.

Ať už jde o volný pád nebo vrh, zrychlení tělesa je stejné. Na těleso působí pouze tíhová síla, která je svislá a míří dolů. Podle druhého Newtonova zákona je zrychlení tělesa orientováno stejně jako výsledná síla, v tomto případě tíhová síla. Můžeme tedy zrychlení zapsat ve tvaru \(\Vec{a}=(0,-g)\), pokud jsou osy souřadnicového systému vodorovná a svislá.

Na dva vrhy se podívejme detailněji v následujících řešených příkladech.

Vrh vodorovný

V případě vodorovného vrhu má počáteční rychlost vodorovný směr. Jaké to má důsledky pro pohyb tělesa? Bude jeho trajektorií přímka? Kam dopadne a za jak dlouho? Jakou rychlostí?

Příklad 1

Chlapec na obrázku skáče do vody v jezeře z břehu, který je 2,4 m nad hladinou jezera. Jak daleko od břehu dopadne, když se rozběhne rychlostí \(v_0=2{,}6\ \mathrm{m/s}\) a jeho těžiště je ve výšce 80 cm nad úrovní břehu? (Viz obrázek 15.16.)

Řešení:

Zvolme nejprve soustavu souřadnic a určeme počáteční podmínky pohybu chlapce. V okamžiku odrazu, tedy v čase \(t=0\ \mathrm{s}\), se nachází v bodě, jehož polohu určuje svislý vektor \(\Vec{r}_0=(0,h_0)\). Má také vodorovnou rychlost \(\Vec{v}=(v_0,0)\). Na chlapce působí pouze tíhová síla, ostatní síly zanedbáváme. Součet všech působích sil je roven pouze tíhové síle a podle druhého Newtonova zákona tedy můžeme napsat \(\Vec{F}=m\Vec{g}=m\Vec{a}\). Pro zrychlení tedy získáme složky \(\Vec{a}=(0,-g)\). Proto můžeme sestavit časové rovnice ve tvaru

\[ \begin{aligned} v_x(t) &= v_0\\ v_y(t) &= -gt\\ \end{aligned} \]

a

\[ \begin{aligned} x(t) &= v_0t\\ y(t) &= -\frac12gt^2+h_0\\ \end{aligned} \]

Co tyto rovnice pro pohyb znamenají? Nenulové složky rychlosti nás informují o tom, že probíhá pohyb ve směru osy \(x\) i osy \(y\). Ve směru osy \(x\) se ale rychlost nemění, můžeme se tedy na tuto část pohybu dívat jako na pohyb rovnoměrný. Rovnice pro polohu \(x\) tomuto závěru zcela odpovídá.

Ve směru osy \(y\), kde pohyb původně neprobíhal, dochází k nárůstu rychlosti ve směru dolů – těleso padá, znaménko této složky je záporné. Pohyb v tomto směru je rovnoměrně zrychlený, což opět potvrzujeme v rovnici pro výšku tělesa nad hladinou vody.

Abychom určili, jak daleko chlapec dopadne, musíme nejprve vypočítat dobu jeho pohybu vzduchem. V místě dopadu na hladinu je jeho výška nulová, píšeme tedy

\[ y(t_\mathrm{D}) = 0 = -\frac12gt^2+h_0\;. \]

Pro dobu pádu platí

\[ t_\mathrm{D}=\sqrt{\frac{2h_0}h}=\sqrt{\frac{2\cdot3{,}2}{9{,}81}}\ \mathrm{s}=0{,}81\ \mathrm{s}\;. \]

Tento čas poté dosadíme do vztahu pro x-ovou souřadnici, která je v místě dopadu rovna právě hledané vzdálenosti \(d\):

\[ d=x(t_\mathrm{D})=v_0t_\mathrm{D}=2{,6}\cdot0{,}81\ \mathrm{m}=2{,}1\ \mathrm{m}\;. \]

Zajímá-li nás otázka, s jakou rychlostí chlapec do vody dopadne, musíme z času \(t_\mathrm{D}=0,81\ \mathrm{s}\) určit obě složky rychlosti \(v_{\mathrm{D}x}=v_0=2{,}6\ \mathrm{m/s}\) a \(v_{\mathrm{D}y}=-gt=-9{,}81\cdot0{,}81=-7,9\ \mathrm{m/s}\). Pro velikost rychlosti tedy platí

\[ v_\mathrm{D}=\sqrt{v_{\mathrm{D}x}^2+v_{\mathrm{D}y}^2}=\sqrt{2{,}6^2+(-7{,}9)^2}=8{,}3\ \mathrm{m/s}\;. \]

Vrh vodorovný můžeme popsat jako pohyb rovnoměrný ve směru osy \(x\) a pohyb rovnoměrně zrychlený ve směru osy \(y\). Počáteční rychlost směřuje pouze ve vodorovném směru (osa \(x\)), zatímco zrychlení je svislé. Proto se rychlost ve směru této osy nebude měnit. Ve směru svislém (osa \(y\)) jde o volný pád bez počáteční rychlosti. Složka rychlosti ve směru osy \(y\) narůstá přímo úměrně času.

Trajektorií vodorovného vrhu je křivka, protože dochází k pohybu v obou směrech. Určeme nyní její rovnici. Matematicky jde o funkci \(y=f(x)\). Proto z rovnice \(x(t)=v_0t\) vyjádříme čas \(t=x/v_0\) a dosadíme do rovnice pro \(y\). Rovnice trajektorie má tvar

Vidíme, že se jedná o kvadratickou funkci, trajektorií je tedy parabola. Na následující animaci se můžete podívat, jak je tvar trajektorie ovlivněn počátečními podmínkami.

https://www.geogebra.org/calculator/heceufbw

Vrh šikmý

Nyní se podívejme na nejobecnější pohyb v tíhovém poli. Tím je vrh šikmý. Stále se pohybujeme v tíhovém poli Země, které považujeme za homogenní. Při zavedení kartézského souřadnicového systému s osou \(x\) vodorovnou a osou \(y\) svislou bude mít zrychlení tyto složky: \(\Vec{a}=\Vec{g}=(0,-g)\). Počáteční rychlost nyní svírá s vodorovným směrem (osou \(x\)) úhel \(\alpha\), její složky tedy jsou \(\Vec{v}_0=(v_0\cos\alpha,v_0\sin\alpha)\).

Opět můžeme tento pohyb rozložit na pohyb rovnoměrný ve směru osy \(x\) a rovnoměrně zpomalený/zrychlený ve směru osy \(y\). Je to dáno jedinou působící silou – tíhovou silou, která je svislá. Ve směru svislém je tedy rychlost tělesa ovlivněna zrychlením o velikosti \(-g\), což znamená nejprve rovnoměrně zpomalený pohyb ve směru svislém, poté rovnoměrně zrychlený pohyb tělesa při jeho návratu dolů. Ve směru vodorovném je zrychlení nulové, vodorovná složka rychlosti je tedy konstantní, nemění se. Pojďme si vše ukázat na konkrétním příkladu.

Příklad 2

Jednou z možností, jak skórovat v ragby, je položení míče do brankoviště. Tým skórujícího hráče získá pět bodů. Po pětce následuje kop, tzv. konverze, za dva body. Hráč ragby má zahrát přímý kop (konverzi) ze vzdálenosti \(d=36\ \mathrm{m}\) od branky. Míč je umístěn v bodě O a hráč mu udělí počáteční rychlost svírající úhel \(\alpha=53^\circ\) vzhledem k vodorovné rovině.

1. Sestavte pohybové rovnice.
2. Určete rovnici trajektorie míče v soustavě souřadnic s počátkem O v místě kopu.
3. Jakou minimální rychlost musí hráč udělit míči v bodě O, aby míč proletěl nad břevnem branky, které se nachází ve výšce \(h=3\ \mathrm{m}\) vzhledem k povrchu hřiště?

Řešení:

1) Sestavme časové rovnice pohybu. Do obecných rovnic dosadíme za zrychlení \(\Vec{a}=(0,-g)\) a za počáteční rychlost \(\Vec{v}_0=(v_0\cos\alpha,v_0\sin\alpha)\). V čase \(t=0\) se míč nachází v počátku souřadnic, proto máme \(\Vec{r}_0=(0,0)\). Souřadnice \(x\) a \(y\) míče mají tedy tvar

\[ \begin{aligned} x(t) &= v_0t\cos\alpha\\ y(t) &= -\frac12gt^2+v_0t\sin\alpha\\ \end{aligned} \]

2) Abychom nalezli rovnici trajektorie a s její pomocí určili velikost minimální počáteční rychlosti pro dosažení branky, vyjádříme z první rovnice čas

\[ t=\frac{x}{v_0\cos\alpha}\; \]

Ten hned dosadíme do druhé rovnice:

\[ y(x) = -\frac12g\frac{x^2}{v_0^2\cos^2\alpha}+v_0\sin\alpha\,\frac{x}{v_0\cos\alpha} = \] \[= -\frac{g}{2v_0^2\cos^2\alpha}\cdot x^2+\tan\alpha\cdot x=Ax^2+Bx\;. \]

Opět vidíme, že trajektorií šikmého vrhu je parabola.

3) Tato parabola musí procházet bodem B (36 m, 3 m), aby byl přímý kop úspěšný a bylo dosaženo dalších dvou bodů. Případně může míč proletět brankou ve větší výšce. Za souřadnice \((x,y)\) tedy dosadíme (36 m, 3 m) a získáme rovnici s neznámou \(v_0\).

\[ 3{,}0=-\frac{9{,}81}{2v_0^2\cos^2(53^\circ)}\cdot36^2+\tan(53^\circ)\cdot36\;. \]

Jejím řešením je rychlost o velikosti \(v_0=19{,}8\ \mathrm{m/s}\). Touto minimální rychlostí musí hráč pod úhlem 53° kopnout míč směrem k brance, aby bylo dosaženo dalších dvou bodů.

Celá situace je znázorněna na následující animaci. Můžete si nastavovat různé úhly a velikosti počáteční rychlosti a zkoumat, kdy již bude dosaženo branky.

https://www.geogebra.org/calculator/ryp6sacf

Poznámka na okraj: Délka vrhu (dostřel)

Budeme-li se ptát, co ovlivňuje délku vrhu, musíme se nejprve ptát, kam těleso dopadne. Tento bod, na následujícím obrázku označený P, má souřadnice \((x_\mathrm{P};0)\), protože místo dopadu je na zemi neboli v nulové výšce. (To v případě počátku soustavy souřadnic na povrchu země.)

Pro souřadnice jakéhokoliv bodu na parabolické trajektorii jsme již dříve odvodili

\[ \begin{aligned} x(t) &= v_0t\cos\alpha\\ y(t) &= -\frac12gt^2+v_0t\sin\alpha\\ \end{aligned} \]

V bodě P platí, že \(y(t_\mathrm{P})=0\). Dostáváme kvadratickou rovnici pro \(t_\mathrm{P}\) bez absolutního členu.

\[ y(t_\mathrm{P})=-\frac12gt_\mathrm{P}^2+v_0t_\mathrm{P}\sin\alpha=t_\mathrm{P}\left(-\frac12gt_\mathrm{P}+v_0\sin\alpha\right)\;. \]

Jejím řešením jsou hodnoty \(t_{\mathrm{P}1}=0\) a \(t_{\mathrm{P}2}=2v_0/g\cdot\sin\alpha\). První čas odpovídá počátku pohybu, kdy je těleso vrženo z počátku souřadnic, druhý čas odpovídá bodu P a okamžiku dopadu. Abychom určili, kam náš projektil dopadne, dosadíme čas dopadu \(t_{\mathrm{P}2}\) do první rovnice

\[ x_\mathrm{P}=x(t_{\mathrm{P}2})=v_0\frac{2v_0\sin\alpha}{g}\cos\alpha=\frac{v_0^2}{g}\sin2\alpha\;. \]

Ve výsledném vztahu pro dostřel se tedy objevují dvě proměnné: počáteční rychlost \(v_0\) a úhel, pod kterým je těleso vrženo. Je zřejmé, že při větší počáteční rychlosti dopadne vržené těleso dále. Jak je tomu se závislostí na úhlu? Funkce sinus nabývá maximální hodnoty pro úhel roven 90°. Protože argument funkce sinus je v našem vztahu \(2\alpha\), maximální hodnoty tedy nabývá pro úhel \(\alpha=45^\circ\). Pro maximální dostřel tedy musíme těleso vyslat pod úhlem 45° vzhledem k vodorovnému směru.

Jak se tento úhel změní, když budeme střílet z vyvýšeného místa? A jaký bude dostřel, když bychom uvažovali i tření se vzduchem? Zkuste najít alespoň některé odpovědi v následujícím grafu nebo simulaci.

Pohyb po kružnici

Dalším významným pohybem je pohyb po kružnici. Otáčivé pohyby pevných těles, jako třeba otáčení kola automobilu kolem svého středu, budeme studovat v další kapitole. V této kapitole se zaměříme na pohyby bodů a těles po kruhových trajektoriích. Jako příklad takového pohybu uveďme pohyb některých satelitů kolem Země, pohyb kolotoče nebo třeba pohyb nabité částice v kruhovém urychlovači. Jak můžeme tyto a další pohyby popsat?

Když k popisu pohybu po kružnici použijeme kartézskou soustavu souřadnic s navzájem kolmými osami, nebude to příliš výhodné. Už při rovnoměrném pohybu po kružnici se souřadnice našeho tělesa poměrně komplikovaně mění.

Vhodnější je pro popis pohybu použít polární souřadnice. Je-li počátek situován do středu kružnice, všechny body na trajektorii tělesa budou mít stejnou souřadnici \(r=R\) (\(R\) značí poloměr kruhové trajektorie), a tudíž k úplnému popisu pohybu tělesa bude stačit popsat změny pouze druhé souřadnice \(\varphi\). Tato souřadnice vyjadřuje úhel mezi spojnicí daného bodu se středem trajektorie a kladným směrem osy x.

Stejně jako při pohybu po přímce můžeme definovat rychlost, definujeme v polárních souřadnicích úhlovou rychlost \( \omega \).

Je-li pohyb po kružnici rovnoměrný, těleso urazí za daný čas \(\Delta t\) vždy stejný úhel \(\Delta\varphi\). Změna souřadnice \(\varphi\) je tedy lineární funkcí času a velikost úhlové rychlosti \(\omega\) je konstantní.

Uražená vzdálenost při rovnoměrném pohybu po kružnici odpovídá délce oblouku mezi počátečním a koncovým bodem pohybu. Můžeme ji vypočítat pomocí vztahu \(s=\overparen{AB}=R\,\Delta\varphi.\) Vezmeme-li definici průměrné rychlosti \(v_\mathrm{p}=s/\Delta t\), po dosazení získáme vztah mezi velikostí rychlosti \(v_\mathrm{p}\) a velikostí úhlové rychlosti \(\omega\):

Čím je bod dále od středu otáčení, tím je jeho rychlost větší. Za stejnou dobu \(\Delta t\) musí urazit oblouk o větší délce.

Příklad 1

Určete velikost úhlové rychlosti tělesa, které se pohybuje po kružnici o poloměru 28 cm a opíše oblouk odpovídající úhlu 70° za 2 s. Jaká je velikost jeho rychlosti?

Řešení:

Nejprve spočítáme úhlovou rychlost otáčení tělesa. Vyjdeme z definice úhlové rychlosti a převedeme úhel ve stupních na radiány:

\[ \omega = \frac{\Delta\varphi}{\Delta t} = \frac{\displaystyle 70\cdot\frac{2\pi}{360}}{2}\ \mathrm{rad}\cdot\mathrm{s}^{-1}=0{,}61\ \mathrm{rad}\cdot\mathrm{s}^{-1}\;. \]

Podle vztahu mezi velikostí rychlosti a úhlovou rychlostí pak píšeme \(v=\omega R=0{,}61\cdot0{,}28\ \mathrm{m}\cdot\mathrm{s}^{-1}=0{,}17\ \mathrm{m}\cdot\mathrm{s}^{-1}\).

Kontrolní otázka

Malý Petr a jeho starší bratr Pavel jedou na kole. Oba jedou stejnou rychlostí 11 m/s, Petr na dětském kole 16’’ a Pavel na velkém kole 22’’. Který z nich má větší úhlovou rychlost otáčení svých kol?

Petr
Pavel
stejné úhlové rychlosti

Odeslat  

Vzhledem k tomu, že trajektorií je uzavřená křivka, těleso se po určité době vrátí do výchozího bodu a jeho pohyb se začne opakovat. Takový pohyb nazýváme periodický. Doba, po které se pohyb začíná opakovat, je perioda \(T\). Perioda souvisí s frekvencí \(f\), která vyjadřuje počet oběhů za jednotku času.

Jestliže těleso vykoná jeden oběh po kruhové trajektorii, opíše úhel o velikosti \(2\pi\) za dobu \(T\). Úhlovou rychlost jeho pohybu tedy můžeme vyjádřit vztahem

Kontrolní otázka

Které z následujících dějů bychom mohli označit jako periodické?

zvonění kostela na nedělní mši
západy Slunce nad Brnem
pohyb lodičky ruského kola
pohyb kyvadla hodin

Odeslat  

Kontrolní otázka

Jaká je úhlová rychlost oběhu vteřinové ručičky na hodinkách, jestliže délka této ručičky je 18 mm?

1,88 rad/s
0,18 rad/s
0,10 rad/s
1,88 ⋅ 10⁻⁴ rad/s

Odeslat  

Co je příčinou, že se těleso pohybuje po kružnici?

Příčinou pohybového stavu tělesa jsou působící síly. Newtonovy pohybové zákony nám říkají, že pokud na těleso působí nenulová výsledná síla, bude zrychlení tělesa také nenulové a bude úměrné působící síle

Těleso tak bude měnit svůj směr nebo velikost rychlosti. Nebo obojí najednou.

Zkusme nyní popsat rovnoměrný pohyb tělesa po kružnici. Jaké bude jeho zrychlení? Asi nás napadne, že při rovnoměrném pohybu tělesa je zrychlení nulové. Není tomu tak vždy, protože při křivočarém pohybu, a tedy i pohybu po kružnici, se objevuje normálové zrychlení \(\Vec{a}_\mathrm{N}\). Toto zrychlení odpovídá zakřivení trajektorie a vyjadřuje změnu směru rychlosti. Kam směřuje zrychlení při rovnoměrném pohybu po kružnici? Podívejme se na následující konstrukci zrychlení:

https://www.geogebra.org/calculator/r7wqedmr

Zrychlení tělesa vykonávajícího rovnoměrný pohyb po kružnici směřuje vždy do středu kružnice (trajektorie). Proto bývá nazýváno dostředivým zrychlením. Jakou má toto zrychlení velikost?

Jak jsme již napsali v minulé kapitole, velikost normálového zrychlení můžeme vyjádřit vztahem \(a_\mathrm{N}=v^2/R\), kde \(v\) je velikost rychlosti tělesa a \(R\) je poloměr kruhové trajektorie.

Vidíme, že normálové zrychlení závisí mimo rychlosti také na poloměru trajektorie v okolí uvažovaného bodu, tudíž vyjadřuje to, že daný bod zatáčí a jak moc. Čím je poloměr trajektorie menší, tím je normálové zrychlení větší, a obráceně. Velice dobře to je vidět na následující animaci.

Odkaz na Geogebru: https://www.geogebra.org/calculator/fjcvdvsb

Chcete-li se podívat, jak odvodit dříve uvedený vztah pro velikost normálového (dostředivého) zrychlení, přečtěte si následující poznámku na okraji.

Poznámka na okraj: Odvození vztahu pro normálové zrychlení

Podívejme se na těleso pohybující se rovnoměrným pohybem po kružnici. Nachází se v bodě P. Vezměme dva body A₁ a A₂ umístěné symetricky kolem bodu P (viz obrázek). Budou představovat dvě pozice – předcházející a následující bodu P.

Průměrné zrychlení můžeme vyjádřit pomocí vztahu

\[ \Vec{a}_\mathrm{p}=\frac{\Delta\Vec{v}}{\Delta t}=\frac{\Vec{v}_1-\Vec{v}_2}{\Delta t}\;. \]

Rychlosti v bodech A₁ a A₂ můžeme vyjádřit pomocí jejich složek

\[ \begin{aligned} \Vec{v}_1 = (v_{1x},v_{1y}) &= (v\cos\vartheta,v\sin\vartheta)\\ \Vec{v}_2 = (v_{2x},v_{2y}) &= (v\cos\vartheta,-v\sin\vartheta)\\ \end{aligned} \]

Pro průměrné zrychlení tedy po dosazení platí

\[ \Vec{a}_\mathrm{p}=\frac{\Delta\Vec{v}}{\Delta t}=\frac{\Vec{v}_1-\Vec{v}_2}{\Delta t}=\frac{(0,-2v\sin\vartheta)}{\Delta t}=\left(0, -\frac{2v\sin\vartheta}{\Delta t}\right)\;. \]

Ze složek zrychlení v bodě P můžeme usoudit, že směr zrychlení je v záporném směru osy \(y\), což v bodě P znamená, že míří do středu trajektorie, do počátku soustavy souřadnic.

Těleso urazí dráhu odpovídající délce oblouku mezi body A₁ a A₂ o velikosti \(d=R\cdot2\vartheta\). Úhel \(\vartheta\) měříme v radiánech. Protože jde o pohyb rovnoměrný, tato uražená dráha je přímo úměrná času \(d=v\,\Delta t\), odkud pro čas získáme

\[ \Delta t=\frac dv=\frac{2R\vartheta}{v}\;. \]

A konečně pro průměrné zrychlení pak

\[ \Vec{a}_\mathrm{p}=\left(0,-\frac{2v\sin\vartheta}{\Delta t}\right)=\left(0,-\frac{v^2}R \frac{\sin\vartheta}\vartheta \right)\;. \]

Jak jsme již ukázali dříve, okamžité zrychlení je \(\Vec{a}=\lim_{\Delta t\to0}\Vec{a}_\mathrm{p}\), a proto výraz \((\sin\vartheta)/\vartheta\) jde k 1 pro \(\Delta t\to0\) (body A₁ a A₂ se nekonečně přibližují k bodu P) a okamžité zrychlení píšeme ve tvaru

\[ \Vec{a}=\left(0,-\frac{v^2}R\right)\;. \]

Jak jsme zmínili již ve 14. kapitole, hodnota \(a_\mathrm{N}=v^2/R\) je velikost normálového zrychlení, které vyjadřuje míru zakřivení trajektorie.

Jestliže víme, kam směřuje zrychlení pohybu rovnoměrného po kružnici, víme také podle druhého Newtonova zákona, jaký je směr síly, která tento pohyb způsobuje. V některých situacích je to zřejmé, jindy musíme příčinu pohybu trochu hledat.

Pohyby po kružnici – působící síla

Příklad 2

Je známo, že při sprintu na 200 m nebo 400 m dosahují běžci delších časů, než kdyby tuto vzdálenost běželi na rovném úseku. Dokážete to vysvětlit pomocí fyziky?

(Poznámka: Starty jednotlivých drah jsou proti sobě posunuty tak, aby vzdálenosti do cíle podle ideálních stop byly stejné.)

Řešení:

Je to způsobeno dostředivou silou, kterou běžec při běhu zatáčkou působí. To má za následek snížení síly, kterou má běžec k dispozici pro pohyb po dráze. Podle očekávání je tento efekt tím výraznější, čím menší je poloměr zatáčky. Proto si běžci často stěžují, že vnitřní dráha je „příliš úzká“.

Obrázek ukazuje kontaktní síly působící mezi nohou běžce a zakřivenou dráhou. Poloměr zatáčky je \(R\). Běh v zatáčce nutí běžce vyvíjet dostředivou sílu \(\Vec{F}_\mathrm{d}\), aby se udržel na své zakřivené dráze. Tato dostředivá síla se přidává k síle potřebné k pohonu po dráze v tečném směru, která je značena \(\Vec{F}_\mathrm{t}\). Celková síla \(\Vec{F}\) (působící dráhou na běžce) má složky \(\Vec{F}_\mathrm{t}\) a \(\Vec{F}_\mathrm{d}\).

Pokud by běžec v dráze č. 1 (nejvnitřnější dráha) uběhl 200 m za 19,72 s, v dráze 8 (nejvzdálenější dráha) by ji uběhl za 19,60 s. To je docela velký časový rozdíl, který se v cíli promítá do vzdálenosti přibližně 1 metr. Zvláště když si uvědomíme, že mnoho závodů se vyhrává nebo prohrává o pouhé centimetry…

Je však třeba zdůraznit, že ani sprinteři nepovažují dráhu č. 8 za nejvýhodnější, protože vzhledem k rozloženým startům by běželi polovinu závodu před ostatními běžci, což je staví do psychické nevýhody, že nevidí, co dělají ostatní běžci.