V předchozí kapitole jsme se zabývali vlastnostmi jednotlivých druhů sil. Tyto síly, ať už působí jednotlivě nebo společně, ovlivňují pohyb tělesa. Jak je vidět z následujících obrázků, mohou těleso uvést do pohybu nebo naopak udržet v klidu, mohou změnit směr jeho pohybu nebo třeba zvýšit jeho rychlost. Působení sil může také vést k deformaci těles. Nyní se ovšem soustředíme pouze na pohybové účinky sil.
Různé druhy silových působení
Zdroj
Zdroj
Zdroj
Zdroj
Zdroj
Jaká je vlastně souvislost mezi působícími silami a pohybem tělesa? Je možné předpovědět budoucí pohyb tělesa na základě sil, které na něj působí? Odpovědi na tyto otázky nám dávají tři zákony pohybu, někdy také nazývané Newtonovy pohybové zákony podle svého objevitele sira Isaaca Newtona.
Jak se bude pohybovat těleso, na které nepůsobí žádné síly?
Aristoteles tvrdil, že každý pohyb jednou ustane, protože přirozeným stavem věcí je klid. Aby se těleso pohybovalo, musí na něho působit síla. To se zdá být v pořádku. Pokud při jízdě na kole po rovině přestanete šlapat, po čase se zastavíte. Teprve Galileo Galilei ale správně pochopil podstatu věci. To, že zastavíte, způsobí odpor vzduchu a valivý odpor. Pokud bychom se jich dokázali zbavit, pohyb bude pokračovat pořád dál, do nekonečna. Dobrým příkladem takového tělesa je vesmírná sonda, která letí dopředu setrvačností a zapíná motory, jen pokud potřebuje změnit svoji rychlost. Podobně to platí i pro otáčivý pohyb. Planeta Země se otáčí kolem své osy miliardy let a nepotřebuje k tomu žádný pohon.
Zdroj
Ale vraťme se zpátky na zem. Co se děje s knihou, kterou máte na svém stole? Tíhová síla \(\Vec{F}_\mathrm{G}\) ji nutí padat stále dolů, zatímco kolmá tlaková síla stolu \(\Vec{F}_\mathrm{N}\) se jí v tomto pohybu snaží zabránit. Díky současnému působení obou sil zůstává kniha ležet na stole a nijak se nepohybuje. Říkáme, že silový účinek obou sil se vyrušil. Protože již umíme skládat síly, dokážeme si představit, že součet dvou opačných sil je nulový. Matematicky zapsáno: \(\Vec{F}_\mathrm{G} + \Vec{F}_\mathrm{N} = \Vec{0}\).
Zdroj
Zdroj
Vezměme nyní kulečníkovou kouli. Uveďme ji do pohybu na vodorovné desce stolu. Koule se pohybuje dopředu, jaké síly na ni působí? Samozřejmě tíhová síla \(\Vec{F}_\mathrm{G}\) působící svisle dolů. Deska stolu ji vyrovnává kolmou tlakovou silou \(\Vec{F}_\mathrm{N}\) svisle vzhůru. Jestliže zanedbáme valivý odpor, koule se pohybuje dopředu, nic ji netáhne, tedy silové působení je stejné jako předtím, kdy se tíhová síla a tlaková síla stolu vyrušily. Bude se pohybovat tak dlouho, dokud nenarazí do mantinelu (další síla), nebo nespadne přes okraj stolu (ztratíme tlakovou sílu stolu). Za těchto změněných podmínek se změní i pohybový stav tělesa.
Tyto situace jsou popsány prvním Newtonovým zákonem – zákonem setrvačnosti:
Každé těleso setrvává v klidu nebo v rovnoměrném přímočarém pohybu, pokud není nuceno vnějšími silami tento svůj stav změnit.
Matematicky můžete tento zákon zapsat ve tvaru \(\Vec{F}=\Vec{0}\,\Leftrightarrow\,\Vec{v}=\mathrm{konst.}\)
Jestliže je výslednice všech sil působících na těleso nulová \(\Vec{F}=\Vec{0}\), pak těleso vykonává rovnoměrný přímočarý pohyb, nebo zůstává v klidu (zvláštní případ rovnoměrného přímočarého pohybu). A stejně to platí i obráceně. Jestliže se těleso pohybuje rovnoměrným přímočarým pohybem, pak se síly, které na něj působí, musí vyrušit. V matematickém vyjádření zákona setrvačnosti je to vyjádřeno znakem ekvivalence ⇔.
Tuto vlastnost všech těles – tendenci zůstávat v klidu či pohybu – nazýváme setrvačnost. Když není důvod ke změně, tak změna nenastane… Dobře ji známe z praxe: městský autobus se rozjede a lidé stojící v něm se naklánějí dozadu, mají tendenci setrvávat na místě, zatímco autobus jim ujíždí pod nohama. Automobil vjíždí do levotočivé zatáčky a pasažéři se mírně vykloní směrem vpravo. Mají tendenci setrvávat v přímočarém pohybu, který vykonávali předtím. A stejně tak i planeta Země, kterou jsme zmínili v úvodu kapitoly, setrvává ve svém otáčivém pohybu.
Poznámka: Z hlediska mechaniky je úplně jedno, jestli na těleso nepůsobí žádné síly nebo jestli se působící síly vyruší. Zákon setrvačnosti platí v obou případech. S tělesem, na které by nepůsobila žádná síla, se však na Zemi nesetkáme, Země bude vždy na těleso působit gravitační silou. Proto budeme vždy uvažovat několik sil, které na těleso působí. Například tíhová síla a tlaková síla stolu pro těleso ležící na stole. Nebo tíhová síla a vztlaková síla vody působící na ledovou kru plující v moři.
Příklad: Na obrázku 5.16a vidíte plachetnici plující konstantní rychlostí 13 uzlů (přibližně 24 km/h). Její celková hmotnost je 7,8 tun.
Zdroj
Kontrolní otázka
Zdroj
Kontrolní otázka
Zdroj
Kontrolní otázka
Zdroj
Příklad: Držíte v ruce basketbalový míč o hmotnosti 567 g.
Kontrolní otázka
Zdroj
Kontrolní otázka
Zdroj
Kontrolní otázka
Zdroj
Příklad 1
Příklad: Prozkoumejme ještě malinko složitější situaci. Na svažité ulici vidíme zaparkovaný automobil o hmotnosti 1100 kg. Úhel sklonu vozovky vůči vodorovnému směru α = 15°.
- Zakreslete všechny síly, které na auto působí.
- Určete výslednou sílu.
- Vypočítejte velikosti jednotlivých sil.
Zdroj
Na automobil působí tíhová síla \(\Vec{F}_\mathrm{G}\) (nachází se v gravitačním poli Země), kolmá tlaková síla vozovky \(\Vec{F}_\mathrm{N}\) (díky ní se auto nezabořuje do silnice), a také statická třecí síla \(\Vec{F}_\mathrm{t}\). Třecí síla brání sklouznutí auta po svahu dolů (uvažte, co by se stalo, kdyby byla silnice zledovatělá).
Zaparkované auto setrvává v klidu, takže se podle prvního Newtonova pohybového zákona musí tyto tři síly vyrušit. To znamená, že současné působení \(\Vec{F}_\mathrm{t}\) a \(\Vec{F}_\mathrm{N}\) musí přesně vykompenzovat účinek \(\Vec{F}_\mathrm{G}\). Jinými slovy, sečteme-li vektorově síly \(\Vec{F}_\mathrm{t}\) a \(\Vec{F}_\mathrm{N}\), dostaneme vektor ležící na úhlopříčce rovnoběžníka sil, přesně opačný k vektoru \(\Vec{F}_\mathrm{G}\); viz obrázek – červený vektor. (Poznámka: Pokud by velikost třecí síly mezi pneumatikami automobilu a povrchem silnice překročila maximální hodnotu, auto by začalo klouzat po svahu dolů.)
Pro výpočet velikostí jednotlivých sil jsou důležité pravoúhlé trojúhelníky s přeponou o velikosti \(F_\mathrm{G}\) a odvěsnami o velikostech \(F_\mathrm{N}\) a \(F_\mathrm{t}\). V nich platí
\[\sin\alpha=\frac{F_\mathrm{t}}{F_\mathrm{G}}\quad\hbox{a}\quad\cos\alpha=\frac{F_\mathrm{N}}{F_\mathrm{G}}\]Číselně dostáváme: \(F_\mathrm{G}=10{,}8\ \mathrm{kN}\), \(F_\mathrm{t}=254\ \mathrm{N}\), \(F_\mathrm{N}=10{,}4\ \mathrm{kN}\). Výsledná síla má nulovou velikost. Podle 1. Newtonova zákona se síly musí navzájem vyrušit, protože automobil setrvává v klidu.
Už jste někdy zkusili hru zvanou curling? Při ní posíláte po ledě žulový kámen o hmotnosti skoro 20 kg do středu kruhů vzdálených více než 40 m. Curlingový kámen se na začátku pohybuje rychlostí o velikosti 2,6 m/s (viz obrázek). Jaké síly na něj působí?
Zdroj
Pokud budeme uvažovat pouze kolmou tlakovou sílu a tíhovou sílu (viz obrázek), které jsou stejně velké a opačně orientované, výsledná síla působící na kámen bude nulová a kámen se bude pohybovat rovnoměrným přímočarým pohybem (1. Newtonův zákon).
Zdroj
To však hra nebude možná. Cílem je umístit kámen do protějších kruhů. Kámen tedy musí zastavit. Musí na něj působit malá třecí síla mezi kamenem a ledem, a ačkoliv se kolmá tlaková síla a tíhová síla vyruší, proti třecí síle již žádná síla nepůsobí. Výslednice sil tedy působí proti směru pohybu a kámen zpomaluje.
Zdroj
Jak jsme viděli v předchozím příkladu, vlivem tření mezi ledem a kamenem se jeho pohyb zpomalí tak, že se nakonec zastaví v kruzích na opačném konci curlingové dráhy. Jinak by hra nebyla možná. V případě nenulové výsledné síly působící na těleso se bude měnit rychlost pohybu. To je vyjádřením zákona síly – 2. Newtonova zákona.
Formulovat zákon síly přesněji nám umožní pokus s vozíkem, který si můžete vyzkoušet v rámci laboratorních cvičení. V průběhu tohoto experimentu se snažíme působit na vozík na kolejnicích konstantní silou a pomocí sonaru měřit jeho zrychlení.
Zdroj
Těmito pokusy dojdeme k závěru, že pro velikost zrychlení vozíku platí \(a=F/m\). A to je matematické vyjádření druhého Newtonova zákona.
Zrychlení tělesa \(\Vec{a}\) je přímo úměrné výsledné působící síle \(\Vec{F}\) a nepřímo úměrné hmotnosti tělesa \(m\):
\[\Vec{a}=\frac{\Vec{F}}{m}\quad\]nebo také
\[ \quad\Vec{F}=m\Vec{a}\]Setkáme se také s vyjádřením ve tvaru \[\sum_i \Vec{F}_i = m\Vec{a}\;,\] který připomíná, že výsledná síla vzniká jako součet všech vnějších sil působících na těleso.
Vztah jsme zapsali pomocí vektorů. To znamená, že směr zrychlení je vždy stejný jako směr výsledné síly. Jestliže bylo těleso původně v klidu (jako v našem pokusu s vozíkem), zrychluje ve směru působící síly. Rozhodně ale neplatí, že rychlost tělesa má vždy stejný směr jako výsledná síla. Tady vstupuje do hry ještě počáteční rychlost tělesa. Zkuste si představit třeba tenisový míček vyhozený do vzduchu (viz obrázek). Tíhová síla po celou dobu pohybu působí směrem dolů. Stejný směr má tedy i zrychlení a toto platí pro výstup i pád míčku.
Zdroj
Zdroj
Podobně je tomu i při tenisovém podání. V tomto případě mají vektor rychlosti a vektor výsledné síly zcela jiný směr.
Jaký je význam druhého Newtonova zákona?
Vztah \(F=ma\) spojuje tři důležité mechanické veličiny. Můžeme jednotku síly vyjádřit pomocí jednotek dalších veličin. Vidíme, že \(\mathrm{1\ N = kg\cdot m\cdot s^{-2}}\). Síla 1 N tedy udělí tělesu o hmotnosti 1 kg zrychlení 1 m ⋅ s−2.
Nejde tu ale jen o jednotky. Druhý Newtonův zákon je „srdcem“ celé dynamiky, protože spojuje působení okolí (prostřednictvím sil) a změnu pohybového stavu tělesa (pomocí zrychlení). Umožňuje nám vypočítat (a tedy předpovídat) budoucí pohyb tělesa na základě znalosti jeho počátečního stavu a všech působících sil. Podobně ho můžeme použít i obráceně: známe-li pohybový stav tělesa, dokážeme vypočítat působící síly.
V těch nejjednodušších případech se pohybuje jen jedno těleso a působící síly se nemění. Pak postupujeme zhruba takto:
- Ujasníme si, které těleso budeme sledovat a jakými silami na něj jeho okolí působí. Vezmeme v úvahu dotýkající se pevná tělesa (tlak, tření), okolní tekutinu (odpor vzduchu, tlakové síly) a silová pole (gravitační, elektrické, magnetické).
- Nakreslíme silový diagram pro dané těleso, tj. zaznamenáme všechny působící síly co do velikosti a směru. Určíme výslednou sílu. Těleso zakreslujeme jako bod (nezahrnuje rotaci).
- Aplikujeme správně druhý Newtonův zákon – určíme zrychlení tělesa. Známe-li počáteční rychlost, můžeme odpovědět na otázku, jak se bude těleso pohybovat.
Příklad 1
Prozkoumejme společně docela běžnou situaci – jablko padající ze stromu. Určeme na základě pohybových zákonů, za jak dlouho jablko o hmotnosti 150 g dopadne na zem z výšky 3,2 m a jakou bude mít při dopadu rychlost.
1) Studovaným tělesem je jablko. Naše studium začínám ve chvíli, kdy se uvolní od stromu. Nemá tedy žádnou počáteční rychlost, protože až doposud poklidně viselo na větvi. Zkoumáme-li působící síly, můžeme jmenovat tíhovou sílu, která ho přitahuje k zemi, a také vztlakovou sílu, která ho vytlačuje vzhůru. Odhadněme velikosti těchto sil: \(F_\mathrm{G}=1{,}5\ \mathrm{N}\), \(F_\mathrm{VZ}\sim2{,}5\cdot10^{-3}\ \mathrm{N}\). Vidíme tedy, že velikost vztlakové síly můžeme vůči velikosti tíhové síly zanedbat. Neměli bychom zapomenout ani na odporovou sílu vzduchu. Její velikost je však pro velikost jablka a krátkou dráhu pádu přibližně 0,07 N, proto ji opět oproti tíhové síle zanedbáme. Můžeme tedy prohlásit, že na jablko působí pouze tíhová síla – jde o volný pád.
2) Výslednice sil má tedy směr tíhové síly, působí svisle dolů a její velikost je přibližně \(F_\mathrm{G}=1{,}5\ \mathrm{N}\) pro 150 g jablko.
Zdroj
3) Podle druhého Newtonova zákona je výslednice všech sil \(\Vec{F}=m\Vec{a}\). Protože pro tíhovou sílu platí \(\Vec{F}_\mathrm{G}=m\Vec{g}\), porovnáním obou vztahů dostáváme \(\Vec{a}=\Vec{g}\). Druhý Newtonův zákon nám umožnil vyjádřit vlastnosti vektoru zrychlení. Je svislé, směřuje dolů a má velikost a = g = 9,81 m/s2. To znamená, že během každé sekundy svého pádu jablko zrychlí přibližně o 10 m/s. Všechna tělesa, ať mají jakoukoliv hmotnost, budou padat stejně.
Známe-li výšku stromu, můžeme za použití kinematických vztahů pro rovnoměrně zrychlený pohyb předvídat, jak se bude jablko pohybovat v libovolný okamžik, tedy i zodpovědět naše otázky:
\[ \begin{aligned} a&=g\\ v&=gt\\ x&=\frac{1}{2}gt^2 \end{aligned} \]Při dopadu má jablko souřadnici rovnou jeho počáteční výšce nad zemí (x = h = 3,2 m), proto \(h=\frac{1}{2}gt_\mathrm{D}^2\), a proto pro čas dopadu tD lze odvodit
\[t_\mathrm{D}=\sqrt{\frac{2h}{g}}=0{,}81\ \mathrm{s}\;.\]Pro rychlost vD při dopadu pak \(v_\mathrm{D}=gt_\mathrm{D}=7{,}9\ \mathrm{m}\cdot\mathrm{s}^{-1}\).
Příklad 2
V tabulce vidíte přehled skutečných hmotnosti a tahu motorů několika dopravních letadel.
- Dopočítejte maximální možné zrychlení všech letadel.
- Proč bude skutečné zrychlení letadel ve skutečnosti o něco menší?
| letadlo (druh motoru) | tah (kN) | hmotnost letadla (t) |
|---|---|---|
| Antonov 124, Ruslan (motor CF6-80C2) | 4 × 276 = 1104 | 405 |
| Boeing 777-Freighter (motor GE90-115B) | 2 × 514 = 1028 | 347 |
| Airbus A380-861 (motor GP7270) | 4 × 310 = 1240 | 575 |
| Boeing 777-300 (motor CFM56-3 series) | 2 × 200 = 400 | 156 |
Použijeme 2. Newtonův zákon. Podle něj můžeme velikost zrychlení letadla vyjádřit pomocí \(a=F/m\).V případě letadla Ruslan má zrychlení hodnotu
\[a=\frac{4\cdot276\,000\ \mathrm{N}}{405\,000\ \mathrm{kg}}=2{,}73\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^2\;.\]Pro další letadla pak 2,96 m/s2, 2,16 m/s2 a 2,56 m/s2.
Ve skutečnosti bude zrychlení letadla o něco menší, protože i když bychom chtěli použít maximální možný tah, budou na letadlo působit také odporové síly, a celkové zrychlení bude menší.
Tah motoru a hmotnost vybraných letadel můžeme znázornit v grafu. Je vidět, že větší hmotnost letadla vyžaduje silnější motor (větší tah). Jejich zrychlení je však přibližně stejné.
Zdroj
Zdroj
Příklad 3
Startovací dráha letiště Václava Havla v Ruzyni má délku 3 200 m. Letadlo Airbus A380 o maximální vzletové hmotnosti 569 tun se musí rozjet na rychlost 320 km/h, aby dosáhlo dostatečného vztlaku. Jaký stálý tah by měly mít jeho čtyři motory, když se zvedne od země po ujetí 2 800 m? (Pro jednoduchost odporové síly neuvažujte.)
Nejprve se podívejme, jaké síly na startující letadlo působí:
Zdroj
Jde o tíhovou sílu \(\Vec{F}_\mathrm{G}\) a kolmou tlakovou sílu \(\Vec{F}_\mathrm{N}\), které se při rozjezdu letadla navzájem vyruší. Odporovou sílu, i když bude mít velkou hodnotu, pro zjednodušení příkladu neuvažujeme. Výsledná síla má tedy směr a velikost tahové síly motorů \(\Vec{F}\).
Dráha uražená při rozjezdu letadla, který považujeme za rovnoměrně zrychlený, je s = 2 800 m. (Údaj o délce startovací dráhy je nadbytečný.) Tuto dráhu můžeme vyjádřit vztahem \(s=\frac{1}{2}at^2\). Pro rychlost letadla zase platí \(v=at\). Z druhé rovnice vyjádříme dobu, po kterou se letadlo bude rozjíždět \(t=v/a\), a následně z první rovnice velikost zrychlení
\[a=\frac{v^2}{2s}\;.\]Velikost tahové síly motorů je dána vztahem
\[F=ma=m\frac{v^2}{2s}=569\,000\cdot\frac{89^2}{2\cdot2\,800}\ \mathrm{N}=805\ \mathrm{kN}\]Poznámka: Letadlo Airbus A380 má 4 motory, každý o tahu 310 kN. Letadlo má tedy dostatečně silné motory, aby mohlo na letišti startovat. Létají Airbusy A380 do Ruzyně?
Příklad 4
Ester Ledecká, dvojnásobná olympijská vítězka z Pchjongčchangu, se chystá ke svému dalšímu sjezdu Světového poháru. Na startu obávané sjezdovky Hahnenkamm v Kitzbühelu je sklon svahu hned po startu 85 % (úhel 40° vzhledem k vodorovné rovině). Za jak dlouho po startu dosáhne Ester rychlosti 45 km/h, nepočítáme-li se třením mezi lyžemi a sněhem ani s odporem vzduchu?
Zdroj
Zakresleme síly, které na Ester působí na nakloněné rovině (viz silový diagram). Neuvažujeme-li odporovou sílu nebo tření, jsou zde pouze tíhová síla \(\Vec{F}_\mathrm{G}\) a kolmá tlaková síla svahu \(\Vec{F}_\mathrm{N}\). Jejich výslednice \(\Vec{F}\) působí ve směru zrychlení, které je rovnoběžné se svahem. V tomto směru také Ester zrychluje.
V nákresu můžeme vidět, že velikost výslednice F odpovídá jedné odvěsně v pravoúhlém trojúhelníku. Druhá odvěsna má velikost FN, zatímco velikost přepony je rovna velikosti tíhové síly FG. V pravoúhlém trojúhelníku nalezneme také úhel α nakloněné roviny (navzájem kolmá ramena). Proto pro velikost výsledné síly získáme \(F=mg\sin\alpha\).
Zdroj
Následně použijeme 2. Newtonův zákon, abychom určili velikost zrychlení Ester: \(ma=mg\sin\alpha\). Můžeme vydělit hmotností m a pro velikost zrychlení tělesa pohybujícího se bez tření na nakloněné rovině získáme vztah \(a=g\sin\alpha\). Většímu sklonu odpovídá větší zrychlení. (Poznámka: pro \(\alpha=90^\circ\) je \(\sin\alpha=1\) a \(a=g\) – těleso přechází do volného pádu.)
Víme tedy, že jde o pohyb rovnoměrně zrychlený (velikost zrychlení je konstantní), rychlost tedy narůstá úměrně času: \(v=at=gt\sin\alpha\). Hledaný čas, ve kterém Ester dosáhne rychlosti 45 km/h = 12,5 m/s, pak vyjádříme
\[t=\frac{v}{g\sin\alpha}=\frac{12{,}5}{9{,}81\cdot\sin40^\circ}\ \mathrm{s}=1{,}98\ \mathrm{s}\;.\]
Příklad 5
Při střele na bránu se fotbalový míč pohybuje rychlostí 63 km/h. Určete velikost síly, kterou musí brankář působit na míč, aby ho zastavil. Hmotnost míče je 450 g a brankář ho zastaví na dráze 30 cm.
Zdroj
Síla působící na míč v okamžiku zachycení je podle 2. Newtonova zákona úměrná jeho hmotnosti a zrychlení. Velikost zrychlení závisí na tom, jak rychle došlo ke změně rychlosti. Zrychlení je definováno jako \(a=\Delta v/\Delta t\). Změna rychlosti míče má velikost \(\Delta v=17{,}5\ \mathrm{m/s}\), potřebujeme však ještě vyjádřit dobu Δt, po kterou bude brankář působit silou F na míč (předpokládejme, že tato síla je konstantní). Jestliže se míč zastaví na dráze s = 30 cm, pak lze vyjádřit
\[s=\frac{1}{2}a(\Delta t)^2=\frac{1}{2}\frac{\Delta v}{\Delta t}(\Delta t)^2=\frac{1}{2}\cdot\Delta v\cdot\Delta t\;.\]Pro dobu zastavení pak získáme:
\[\Delta t=\frac{2s}{\Delta v}=\frac{2\cdot0{,}30}{17{,}5}\ \mathrm{s}=0{,}034\ \mathrm{s}\;.\]Po dosazení do vztahu
\[F=m\frac{\Delta v}{\Delta t}=0{,}45\cdot\frac{17{,}5}{0{,}034}\ \mathrm{N}=232\ \mathrm{N}\]
Co platí pro vzájemné působení těles?
V pokusu s vozíkem jsme jej uváděli do pohybu pomocí vnější síly (taháním za provázek). Je ale vůbec možné, aby těleso uvedlo do pohybu samo sebe? Při pohybu lidí, aut či vesmírných raket se s tím běžně setkáváme. Prostě se rozejdete a ani o tom nepřemýšlíte. Pojďme se ale na situaci podívat podrobněji. Z pohledu 2. Newtonova zákona musí na těleso působit jeho okolí tak, aby výsledná síla nebyla nulová. Různé části tělesa na sebe sice mohou působit (stačí se poškrábat na hlavě), ale na pohyb tělesa to nemá vliv. Funguje to tedy takto: člověk se opře do podlahy mírně zešikma, začíná na podlahu působit třecí silou. V tu chvíli začne také podlaha působit na člověka třecí silou opačného směru a ta uvádí tělo do pohybu. Lidé či auta se tedy „odráží“ od podlahy pomocí tření, lodě či letadla od okolní tekutiny pomocí tlakových sil. Využíváme přitom důležitou vlastnost sil, kterou shrnuje zákon akce a reakce:
Dvě tělesa na sebe vždy vzájemně působí stejně velkými, opačně orientovanými silami.
Označíme-li \(\Vec{F}_\mathrm{A}\) sílu, kterou působí těleso A na B a \(\Vec{F}_\mathrm{B}\) sílu, kterou působí B na A, můžeme zákon napsat jednoduše jako \(\Vec{F}_\mathrm{A}=-\Vec{F}_\mathrm{B}\). Pro jejich velikosti pak píšeme \(F_\mathrm{A}=F_\mathrm{B}\). Tyto síly současně vznikají i zanikají, proto nelze rozhodnout, která z nich je „akce“ a která „reakce“.
Znázornění akce a reakce
Zdroj
Zdroj
Zdroj
Zdroj
Je důležité připomenout, že síly se trochu nešťastně nazývají akce a reakce, přestože jsou zcela rovnocenné. Jestliže například víme, že Země přitahuje člověka gravitační silou, pak podle třetího Newtonova zákona přitahuje také člověk Zemi stejně velkou silou opačného směru. Tyto síly působí vždy současně, současně vznikají i zanikají. Dobře si prostudujte tyto dva příklady.
Příklad 1
Člověk stojí v klidu na Zemi. Pojmenujte všechny čtyři síly, které se v této situaci objevují. Nakreslete zvlášť silový diagram pro člověka a pro Zemi.
Na člověka působí gravitační síla Země a kolmá tlaková síla Země. Na Zemi pak gravitační síla člověka a tlaková síla chodidel člověka. Viz následující nákres.
Zdroj
Akce a reakce jsou vždy stejné povahy: gravitační na gravitační, třecí na třecí, tlaková na tlakovou. Vzájemně se nevyruší, protože každá tato síla působí na jiné těleso.
Příklad 2
Podle 3. Newtonova zákona je působení dvou těles vždy vzájemné. To znamená, že pokud Země přitahuje jablíčko visící na stromě nebo padající dolů, přitahuje stejně velkou silou i jablíčko samotnou Zemi. Z toho plyne, že tak jako padá jablíčko k zemi, měla by i Země padat k jablíčku (dokud se nedotknou)! Dá se něco takového pozorovat?
Zdroj
Předpokládejme, že jablíčko (hmotnost m1 = 200 g) padá z výšky 5 m nad povrchem Země (hmotnost m2 = 6,0 ⋅ 1024 kg).
Určete
- za jak dlouho spadne jablko volným pádem,
- s jakým zrychlením padá Země k jablku,
- o kolik se při pádu posune těžiště Země.
a) Jablko je k Zemi přitahováno tíhovou silou \(F_\mathrm{G1}=m_1g=2\ \mathrm{N}\). Po uvolnění padá k zemi rovnoměrně zrychleným pohybem se zrychlením \(a_1=g=10\ \mathrm{m/s^2}\) (zanedbali jsme odpor vzduchu, použijeme zaokrouhlenou hodnotu g). Dráha pohybu \(s_1=\frac{1}{2}gt^2\) je zřejmě rovna výšce, ze které padá. Odtud vypočítáme dobu pádu
\[t=\sqrt{\frac{2s_1}{g}}=1\ \mathrm{s}\;.\]b) Podle 3. Newtonova zákona přitahuje i jablko Zemi silou \(F_\mathrm{G2}=F_\mathrm{G1}=2\ \mathrm{N}\). Jelikož Země není ve vesmíru nijak upevněna, padá k jablku volným pádem se zrychlením
\[a_2=\frac{F_\mathrm{G2}}{m_2}=3{,}3\cdot10^{-25}\ \mathrm{m/s^2}\;.\]3) Za dobu t = 1 s urazí Země rovnoměrně zrychleným pohybem dráhu \(s_2=\frac{1}{2}a_2t^2=1{,}7\cdot10^{-25}\ \mathrm{m}\). Tato dráha je o deset řádů menší než velikost atomového jádra čili naprosto neměřitelná.
Podobně jako jablíčko a Země přitahují se i Země a Slunce. Ve skutečnosti není ani Slunce na pevném místě ve vesmíru, ale obíhají se Zemí kolem společného těžiště. Toto těžiště leží pod povrchem Slunce, uvnitř slunečního pláště. Poznamenejme, že pohyb Slunce ovlivňují i další planety. Jestliže pohybu Země při pádu jablíčka si nevšimneme, v případě hvězdy a kolem ní obíhající planety je tento pohyb již docela dobře pozorovatelný. Astronomové tyto drobné pohyby hvězd využívají k odhalení existence tzv. exoplanet, které kolem nich obíhají.
Příklad 3
Člověk stojí na váze, odrazí se, vyskočí a poté dopadne zpět. Váha měří závislost tlakové síly FN (mezi člověkem a váhou) na čase (viz obrázek).
- Určete hmotnost člověka.
- Vysvětlete podrobně tvar grafu ve všech fázích pohybu.
- Vypočítejte, jak vysoko člověk vyskočil.
Zdroj
Zdroj
a) Na člověka stojícího na váze působí dvě síly: tíhová \(\Vec{F}_\mathrm{G}\) a kolmá tlaková \(\Vec{F}_\mathrm{N}\). Pokud člověk (jeho těžiště) setrvává v klidu, pak se podle prvního Newtonova zákona tyto síly vyruší, takže \(F_\mathrm{G}=F_\mathrm{N}\). To nastává např. v čase \(t=2\ \mathrm{s}\), z grafu vyčteme \(F_\mathrm{N}=830\ \mathrm{N}\). Pak již můžeme vypočítat jeho hmotnost dle vztahu
\[m=\frac{F_\mathrm{G}}{g}=\frac{830}{9{,}81}\ \mathrm{kg}=84{,}6\ \mathrm{kg}\;.\]b) Z naměřeného grafu můžeme vyčíst následující informace: nejprve člověk stojí v klidu na váze (1). Hodnota síly na váze odpovídá tíhové síle o velikosti 830 N, jak jsme viděli v předchozí otázce. Těsně před skokem se velikost tlakové síly sníží. To je způsobeno tím, že se člověk přikrčí, připravuje se ke skoku, jeho těžiště jde s určitým zrychlením dolů, a proto váha ukazuje menší hodnotu síly, kterou působí na váhu.
Následuje odraz (2), kdy se prudce zvýší tlaková síla. Jde o pohyb zrychlený směrem vzhůru, člověk musí na váhu působit větší silou než je tíhová.
Zdroj
Po odrazu z váhy ukazuje váha nulovou hodnotu (3). Z doby, po kterou byl člověk ve vzduchu, můžeme vypočítat výšku výskoku.
Během dopadu zpět na váhu (4) je síla až dvojnásobná v porovnání s tíhovou, protože tělo člověka se musí zastavit. Člověk na váhu působí mnohem větší silou a podle 3. Newtonova zákona také váha na člověka.
Poslední fází je pak klidové stání na váze (5).
Zdroj
c) Z grafu lze odečíst, že doba výskoku byla \(t=0{,}48\ \mathrm{s}\) (viz detail grafu).
Zdroj
To znamená, že člověk stoupal vzhůru po dobu 0,24 s a padal volným pádem bez počáteční rychlosti opět po dobu 0,24 s. Víme-li, že vzdálenost uražená pohybujícím se tělesem se zrychlením g je vyjádřena vztahem \(s=\frac{1}{2}gt^2\), můžeme snadno spočítat, že výška výskoku byla
\[h=s=\frac{1}{2}\cdot9{,}81\cdot0{,}24^2\ \mathrm{m}=0{,}28\ \mathrm{m}\]Pokud máte k dispozici váhu připojenou k počítači, můžete zkusit uspořádat soutěž o nejvyšší skok. Pro jednoduché porovnání výšky skoků zkuste se žáky „naprogramovat“ výpočet výšky skoku třeba v Excelu.
Co je to tahová síla motoru?
Podívejme se na jedoucí automobil z hlediska silového působení.
Jak víme z obsahu 1. Newtonova zákona, síly se mohou vyrušit i v případě, že těleso je v pohybu. Vezměme například automobil, který jede stálou rychlostí 70 km/h po rovné silnici. Tíhová síla je vyrovnána tlakovou silou silnice a odporové síly (třecí i odpor vzduchu), které působí proti pohybu automobilu, jsou vyrovnány tahovou silou motoru. Automobil se pohybuje rovnoměrným přímočarým pohybem. Namítnete, že automobil nemůže působit sám na sebe silou motoru, a máte pravdu. Pro lepší představu a zjednodušení úlohy jsme sáhli k tomuto znázornění. Ve skutečnosti motor automobilu přes převodové ústrojí působí silou na pneumatiky, které se snaží otáčet. Jsou z tvrdé gumy, na dobré vozovce neproklouznou, takže při svém otáčení působí na vozovku určitou statickou třecí silou a podle 3. Newtonova zákona pak vozovka musí působit stejně velkou silou na pneumatiky, a tím také na automobil. Tato třecí síla vozovky je hybnou silou automobilu a umožňuje mu, aby se pohyboval. Bez ní by se kola protočila a automobil by se ani nerozjel. S tím jsme se občas potkali při náledí.
Zdroj
Po teoretické stránce máme vše, co potřebujeme. Vztahy pro jednotlivé druhy sil a tři pohybové zákony. Prozatím jsme se ale omezili na úlohy, které nevyžadují práci s vektory. Pohybu v rovině a v prostoru se věnujeme samostatně v kapitole 14. Na závěr této kapitoly se ještě podíváme na rozbor situací, kde vystupuje více těles.
Příklad 1
Určete zrychlení nákladního vlaku sestávajícího z lokomotivy (např. Škoda ES 499.1 mající hmotnost 87 t, maximální tažnou sílu 176,5 kN) a dvou vagonů (čtyřnápravový vysokostěnný vůz s nákladem o hmotnosti 64 t). Vypočítejte velikosti tahových sil mezi vagony.
Tažná síla lokomotivy je vlastně výslednou silou působící na soupravu o celkové hmotnosti \(M=m_0+2m_1\) \(=87\ \mathrm{t}+2\cdot64\ \mathrm{t}\) \(=215\ \mathrm{t}\). Podle druhého Newtonova zákona tedy dostáváme \(a=F/M=0{,}82\ \mathrm{m/s}^2\).
Síly působící na soupravu rozkreslíme v následujícím schématu:
Zdroj
Pro síly mezi vagony pak stačí použít druhý Newtonův zákon a dostáváme:
\[ \begin{aligned} F_\mathrm{V2}&=m_1a=52{,}3\ \mathrm{kN}\\ F_\mathrm{V1}-F_\mathrm{V2}&=m_1a\\ F_\mathrm{V1}&=m_1a+F_\mathrm{V2}=2m_1a=104{,}6\ \mathrm{kN} \end{aligned} \]
Příklad 2
Dvě závaží o hmotnostech \(m_1=2{,}0\ \mathrm{kg}\) a \(m_2=3{,}0\ \mathrm{kg}\) jsou spojena lanem přes kladku zanedbatelné hmotnosti. Kladka se může otáčet bez tření (viz obrázek). Poté, co soustavu uvolníme, dají se závaží do pohybu. Určete velikost jejich zrychlení a sílu, kterou je lano napínáno.
Zdroj
Zrychlení obou závaží musí být stejné, protože délka lana je stále stejná, obě závaží se pohybují shodně. Těžší dolů, lehčí nahoru. Tahová síla, kterou působí lano na závaží FT, musí být pro obě závaží stejně velká, protože kladka pouze mění směr síly, nikoliv její velikost.
Do obrázku zakreslíme síly, které působí na obě tělesa, stejně jako jejich výslednice \(\Vec{F}_1=\Vec{F}_\mathrm{T}+\Vec{F}_\mathrm{G1}\) a \(\Vec{F}_2=\Vec{F}_\mathrm{T}+\Vec{F}_\mathrm{G2}\).
Zdroj
Závaží číslo 1 se bude pohybovat vzhůru (v kladném směru osy x) a závaží číslo 2 se bude pohybovat dolů (v záporném směru osy x). Abychom určili síly působící na lano \(F_\mathrm{T}\) a zrychlení závaží \(a\), použijeme 2. Newtonův zákon a zapíšeme ho zvlášť pro první i druhé závaží:
\[ \begin{aligned} m_1a&=F_\mathrm{T}-m_1g\\ -m_2a&=F_\mathrm{T}-m_2g \end{aligned} \]Tuto soustavu dvou rovnic o neznámých \(F_\mathrm{T}\) a \(a\) můžeme řešit například sčítací metodou. Po odečtení rovnice dostáváme:
\[ \begin{aligned} m_1a-(-m_2a)&=F_\mathrm{T}-m_1g-(F_\mathrm{T}-m_2g)=m_2g-m_1g\\ (m_1+m_2)a&=(m_2-m_1)g \end{aligned} \]Pro velikost zrychlení tedy platí:
\[a=\frac{m_2-m_1}{m_1+m_2}\cdot g=\frac{3\ \mathrm{kg}-2\ \mathrm{kg}}{2\ \mathrm{kg}+3\ \mathrm{kg}}\cdot10\ \mathrm{m/s}^2=2{,}0\ \mathrm{m/s}^2\]Velikost tahové síly lana pak vyjádříme z první rovnice:
\[F_\mathrm{T}=m_1a+m_1g=m_1(a+g)=2{,}0\ \mathrm{kg}\cdot(2{,}0\ \mathrm{m/s}^2 + 10\ \mathrm{m/s}^2)=24\ \mathrm{N}\]
Příklad 3
Odvoďte, jak se bude pohybovat volně puštěné těleso v gravitačním poli blízko zemskému povrchu (např. kámen padající z věže). Řekněme, že se na začátku pohybu kámen o hmotnosti 270 g nachází ve výšce 17 m nad zemí. Uvolníme ho bez počáteční rychlosti \((v_0=0\ \mathrm{m/s})\) a bude padat v tíhovém poli Země (\(g=9{,}8\ \mathrm{m/s^2}\)). Úlohu řešte
- bez započítání odporu vzduchu (volný pád),
- se započítáním odporu vzduchu (reálný pád).
Zdroj
a) Neuvažujeme-li odpor vzduchu, jedinou silou, která uděluje kameni zrychlení (o velikosti g) je tíhová síla o velikosti \(F_\mathrm{G}\). Podle druhého Newtonova zákona je \(F=ma\) a zároveň \(F_\mathrm{G}=mg\). Vidíme, že \(ma=mg\), a po vykrácení rovnice hmotností m dostáváme \(a=g\). Těleso bude tedy padat se stálým zrychlením o velikosti \(a=9{,}8\ \mathrm{m/s}^2\), jeho pohyb bude rovnoměrně zrychlený. Velikost rychlosti bude narůstat přímo úměrně času (viz graf rychlosti na čase).
Zdroj
b) Chceme-li řešit tuto úlohu se započítáním odporu vzduchu, musíme vzít v úvahu další sílu působící na kámen – odporovou sílu vzduchu \(F_\mathrm{o}\). Velikost této síly závisí na rychlosti, a jak bude těleso zrychlovat, bude se zvětšovat i odporová síla. Protože odporová síla působí proti pohybu, respektive proti směru tíhové síly, bude se s jejím zvětšováním zmenšovat velikost zrychlení tělesa. Pohyb tedy sice bude stále zrychlený, ovšem nerovnoměrně a stále méně a méně; až se tyto dvě síly vyrovnají, zrychlení bude nulové, a pohyb se stane rovnoměrným. Těleso dosáhne své mezní rychlosti \(v_\mathrm{m}\), pro kterou platí \(F_\mathrm{O}=F_\mathrm{G}\) neboli \(\frac{1}{2}C\varrho Sv_\mathrm{m}^2=mg\).
Odtud pak můžeme mezní rychlost vyjádřit vztahem
\[v_\mathrm{m}=\sqrt{\frac{2mg}{C\varrho S}}\;.\]Nárůst odporové síly i rychlosti tělesa si můžete prohlédnout na následující animaci.
Zdroj
Poznámka na okraj: Úlohy s proměnlivými silami
Úlohy, kde vystupují v čase proměnlivé síly, se řeší numerickými metodami (početními) nebo pomocí diferenciálních rovnic. Při numerickém řešení se snažíme postupovat krok po kroku. Vyjdeme z nějakých počátečních podmínek, například počáteční rychlost tělesa, a vypočítáme za pomoci druhého Newtonova zákona zrychlení tělesa v daném časovém okamžiku. Zvolíme malý časový krok, například Δt = 0,1 s, a určíme, o kolik se za tuto dobu změnila rychlost tělesa. Protože se změnila rychlost tělesa, změnila se i velikost odporové síly, a tím i hodnota zrychlení. Opět vypočítáme jeho hodnotu a opět vypočítáme novou hodnotu rychlosti o krok dt později. A tento postup stále opakujeme.
Numerické řešení na papíře je velmi pracné, pokud si ho však chcete vyzkoušet pomocí počítače a nasimulovat si různé druhy reálných pádů, podívejte se na podrobný návod v praktiku 15. kapitoly.
Budete si moci například vypočítat, s jakou rychlostí dopadne penny z Empire State Building nebo jiné podobné úlohy.
Příklad 4
Vypočítejte maximální rychlost pádu dešťové kapky kulovitého tvaru o průměru 2 mm.
Kapka, a pro jednoduchost předpokládejme, že je kulovitého tvaru, dosáhne maximální rychlosti v okamžiku, kdy se obě působící síly, tedy tíhová a odpor vzduchu, vyrovnají. Jejich výslednice bude nulová a kapka se bude dále pohybovat pohybem rovnoměrným. Podle Newtonova vztahu pro velikost odporové síly je její velikost úměrná druhé mocnině rychlosti. Platí vztah \(F_\mathrm{O}=\frac{1}{2}C\varrho_\mathrm{vz}Sv^2\), kde \(C=0{,}45\) je hodnota součinitele odporu koule, \(\varrho_\mathrm{vz}=1{,}2\ \mathrm{kg/m}^3\) je hustota vzduchu, \(S=\pi r^2\) je obsah příčného průřezu kapky, pro výslednou rychlost pak dostáváme
\[v_\mathrm{m}=2\sqrt{\frac{2\varrho gr}{3C\varrho_\mathrm{vz}}}\;,\]kde ϱ je hustota vody. Číselně pak rychlost nabývá hodnoty 3,84 m/s, což odpovídá našim zkušenostem. Vodní kapky tedy díky nezanedbatelné odporové síle vzduchu dopadají na zem s mezní rychlostí přibližně 4 m/s. Samozřejmě závisí na jejich velikosti.
Poznámka: Hezký článek o tvaru dešťových kapek naleznete na https://www.meteopress.cz/vysvetleni/jaky-tvar-ma-destova-kapka/.
Platí zákon setrvačnosti ve všech vztažných soustavách?
Představte si, že jedete v autobuse a řidič náhle začne brzdit. Co se stane, když nedržíte svůj kufr na kolečkách? Začne se pohybovat směrem k řidiči. Proč? Podívejme se na tuto situaci z pohledu dvou vztažných soustav.
Zdroj
- Z pohledu soustavy spojené se Zemí (maminka s kočárkem) je vše v pořádku. Kufr podle zákona setrvačnosti pokračuje v rovnoměrném přímočarém pohybu.
- Z pohledu soustavy spojené s autobusem (vy jako cestující a pozorovatel) byl kufr v klidu a najednou se dává do pohybu. V autobuse ani mimo něj ale nenajdete žádné těleso, které by na něj působilo směrem dopředu. To je porušení zákona setrvačnosti. Jak je to možné?
Pohybové zákony totiž neplatí ve všech soustavách. Newton uvažoval asi takto: Všechna tělesa, celý Vesmír, se nachází v jakési základní vztažné soustavě, nazval ji soustava spojená se stálicemi (tedy nehybnými hvězdami). V této soustavě formuloval svoje zákony. Tuto soustavu a soustavy, které jsou vůči ní buď v klidu, nebo v rovnoměrném přímočarém pohybu, nazýváme inerciální vztažné soustavy, (z latinského inertia – setrvání). Všechny soustavy, které se pohybují se zrychlením vůči inerciálním, se nazývají neinerciální. Pohybové zákony v nich neplatí. A to je právě příklad brzdícího autobusu.
Poznámka na okraj: Setrvačné síly
Pozorovatel v neinerciální soustavě má pocit, že na tělesa působí ještě další síla, které říkáme setrvačná. Tato síla nevzniká působením mezi tělesy, ale tím, že situaci sledujeme z neinerciální vztažné soustavy. Proto se setrvačným silám říká také fiktivní neboli zdánlivé síly.
Setrvačnou sílu značíme \(\Vec{F}^*\) a můžeme ji určit, známe-li zrychlení neinerciální soustavy \(\Vec{a}^*\) vůči soustavám inerciálním a hmotnost pozorovaného tělesa m. Setrvačná síla má vždy opačný směr než zrychlení soustavy, platí \(\Vec{F}^*=-m\Vec{a}^*\).
Čili pokud chceme používat Newtonovy zákony i v neinerciálních soustavách, musíme mezi síly \(\sum_i\Vec{F}_i\) zahrnout i setrvačnou sílu \(\Vec{F}^*\).
Zdroj
Prakticky vzato můžeme bez problémů použít Newtonovu představu „stálic“ a soustavu spojenou s naší Galaxií považovat za inerciální. Podobně soustava spojená se Sluncem (heliocentrická vztažná soustava) se s obrovskou přesností chová jako inerciální, protože zrychlení, s jakým obíhá kolem středu Galaxie, je nepatrné. Při popisu jevů na povrchu Země pak používáme vztažnou soustavu spojenou s povrchem Země, říkáme jí laboratorní vztažná soustava. Ta, přísně vzato, není inerciální, neboť Země se otáčí kolem své osy. V některých specifických situacích se rotace Země může projevit (podrobnosti najdete pod heslem Coriolisova síla), ale ve většině případů můžeme i laboratorní soustavu považovat za inerciální.
Zdroj
Mechanický model vesmíru
Vytvoření pohybových zákonů mělo značný vliv i na naše chápání časového vývoje vesmíru. Podle Newtona je určením počátečního stavu všech těles zcela přesně určena také jejich budoucnost. Tělesa se pouze řídí fyzikálními zákony, vesmír funguje jako dokonalý hodinový stroj. Je nutné podotknout, že sám Newton nebyl materialista, ale hluboce věřící člověk, a roli tvůrce zákonů a počátečního stavu vesmíru svěřil Bohu. Tato předurčenost se navíc týká jen materiálního světa. Důsledkem tohoto pohledu na svět tedy nutně nemusí být zánik svobodné vůle člověka, ale minimálně dokonalá předurčenost materiálního, fyzice dostupného světa.
V historii fyziky ovšem není o nečekané zvraty nouze. Počátkem 20. století se zrodila kvantová mechanika, která popisuje chování částic na mikroskopické úrovni, a přináší do fyziky prvek náhody. Například takový rozpad nestabilního jádra uranu je náhodný jev. Neexistuje možnost předpovědět, kdy k takovému jednomu rozpadu dojde. Dalším zajímavým zvratem byla ve stejné době rodící se teorie chaosu. Ta stručně řečeno dokázala, že i systém, který se řídí jednoduchými pohybovými zákony, se může za určitých podmínek chovat zcela nepředvídatelně – chaoticky. Je to proto, že libovolně malá odchylka v zadání počátečního stavu může způsobit zcela odlišný časový vývoj. Říká se tomu „efekt motýlích křídel” – mávnutí křídel motýla může ovlivnit vývoj počasí na celém kontinentu.
