Popis kmitání

Cvičení 1

Ke břehu moře dospěje za minutu sedm vln. S jakou periodou a frekvencí kmitá na hladině pobřežní bójka?

\(f=0{,}117\ \mathrm{Hz}\); \(T=8{,}6\ \mathrm{s}\)

Cvičení 2

S jakou periodou, frekvencí a úhlovou frekvencí se pohybuje hodinová ručička na ciferníku hodin?

\(T=12\ \mathrm{h}\); \(f=2{,}31\cdot10^{-5}\ \mathrm{Hz}\); \(\omega=1{,}45\cdot10^{-4}\ \mathrm{rad/s}\)

Cvičení 3

Na obrázku je znázorněna časová závislost výchylky kmitajícího tělesa. Určete periodu, frekvenci, úhlovou frekvenci, amplitudu a počáteční fázi tohoto kmitání.

21.38 – Cvičení 3, závislost výchylky na čase.
Zdroj

\(T=2\ \mathrm{s}\); \(f=0{,}5\ \mathrm{Hz}\); \(\omega=3{,}14\ \mathrm{rad/s}\); \(y_\mathrm{m}=0{,}2\ \mathrm{m}\); \(\varphi_0=0\ \mathrm{rad}\)

Cvičení 4

Do grafu v předchozím příkladu nakreslete třemi různými barvami, jak by vypadalo kmitání tělesa

s vyšší frekvencí,
s větší amplitudou,
s jinou počáteční fází.

Cvičení 5

Nakreslete graf libovolného kmitání, které je periodické, ale není harmonické.

Cvičení 6

Napište rovnici kmitání \(x(t)\) znázorněného grafem. Číselné hodnoty musí být uvedeny v základních jednotkách SI.

21.39 – Cvičení 5, závislost výchylky na čase.
Zdroj

\( x(t)=0{,}05\cdot\sin(1{,}57t+1{,}57)=0{,}05\cdot\cos(1{,}57t) \)

Cvičení 7

Nakreslete graf závislosti \(v_y(t)\) pro kmitání znázorněné v obrázku 21.38 (cvičení 3) a graf \(v_x(t)\) pro kmitání znázorněné v obrázku 21.39 (cvičení 6).

\(v_{y\mathrm{m}}=0{,}63\ \mathrm{m/s}\); \(v_{x\mathrm{m}}=0{,}079\ \mathrm{m/s}\)

Cvičení 8

Nakreslete graf závislosti výchylky na čase daný předpisem

\[ y(t) = 0{,}15\sin\left(2{,}5\pi t+\frac{\pi}3\right)\;. \]

Číselné hodnoty jsou uvedeny v jednotkách SI.

Pružinový oscilátor

Cvičení 1

Vypočítejte periodu, frekvenci a úhlovou frekvenci kmitání tělesa o hmotnosti 200 g zavěšeného na pružině o tuhosti 20 N/m.

\(T=0{,}63\ \mathrm{s}\); \(f=1{,}59\ \mathrm{Hz}\); \( \omega=10\ \mathrm{rad/s} \)

Cvičení 2

Ze vztahu pro periodu pružinového oscilátoru dokažte, že jeho úhlová frekvence je \(\omega=\sqrt{k/m}. \)

Cvičení 3

Těleso o hmotnosti \(m\) kmitá vodorovně bez tření na pružině o tuhosti \(k\) s amplitudou \(x_\mathrm{m}\).

Pomocí veličin \(m\), \(k\) a \(x_\mathrm{m}\) obecně vyjádřete

potenciální energii v bodě obratu,
celkovou mechanickou energii oscilátoru,
kinetickou energii při průchodu rovnovážnou polohou,
rychlost \(v_{x\mathrm{m}}\) průchodu rovnovážnou polohou.
Jak souvisí \(v_{x\mathrm{m}}\) s úhlovou frekvencí kmitání?

Mechanická energie tohoto oscilátoru se zachovává. Je rovna potenciální energii pružnosti v bodě obratu a kinetické energii při průchodu rovnovážnou polohou. \[ \displaystyle E_m = \frac{1}{2} kx_m^2 = \frac{1}{2}mv_{xm}^2 \] \[ \displaystyle v_{x\mathrm{m}}=x_\mathrm{m}\sqrt{\frac km}=x_\mathrm{m}\omega \]

Cvičení 4

Adrenalinový zážitek v podobě skoku do propasti začíná z plošiny vysoko nad řekou (počáteční bod O). Pružné lano má klidovou délku 20 metrů, což znamená, že se začíná napínat až v bodě A nacházejícím se 20 metrů pod bodem O. Pohyb skokana pokračuje a zastaví se až v bodě B o dalších 15 metrů níže. Zanedbáme odpor vzduchu a budeme počítat s \(g=10\ \mathrm{m/s}^2\). Jelikož neznáme hloubku propasti, budeme určovat výšky vzhledem k plošině, takže potenciální energie tíhová v bodě O je \(E_{\mathrm{pg}O}=0\ \mathrm{J}\). Hmotnost skokana je 70 kg.

Nakreslete schéma situace.
Jaká je mechanická energie skokana v bodě O?
Do tabulky doplňte číselné hodnoty energií.
Jaká je rychlost skokana v bodě A?
O kolik vzroste tahová síla lana při jeho prodloužení o jeden metr?

Poloha skokana	Kinetická energie	Potenciální energie tíhová	Potenciální energie pružnosti	Mechanická energie
Bod A
Bod B

\(v_A=20\ \mathrm{m/s}\); \(k=124\ \mathrm{N/m}\)

Cvičení 5

Na stojan zavěsíme pružinu a na její dolní konec zavěsíme těleso. Soustavu rozkmitáme. Co můžeme říci o tíhové síle působící na těleso a o tahové síle pružiny

při průchodu rovnovážnou polohou,
v horním bodě obratu,
v dolním bodě obratu?

Cvičení 6

Pružina má klidovou délku 30 cm a tuhost 20 N/m. Zavěsíme na ni závaží o hmotnosti 200 g.

a) Vypočítejte délku pružiny, když se bude závaží nacházet v rovnovážné poloze.

Závaží vychýlíme z rovnovážné polohy o 5 cm směrem dolů a v čase t = 0 s je uvolníme.

b) Určete frekvenci a periodu kmitů.
c) Napište rovnici výchylky v závislosti na čase a nakreslete odpovídající graf.
d) Určete mechanickou energii oscilátoru. Potenciální energie tíhová je nulová v rovnovážné poloze.
e) Vypočítejte, jakou rychlostí projde závaží rovnovážnou polohou.

\(39{,}8\ \mathrm{cm}\);
\(1{,}59\ \mathrm{Hz}\); \(0{,}63\ \mathrm{s}\);
\(y(t)=-0{,}05\cos(10t)\);
\(0{,}121\ \mathrm{J}\);
\(0{,}5\ \mathrm{m/s}\)

Cvičení 7

Zavěsíme-li na pružinu těleso o hmotnosti 2,0 kg, pružina se prodlouží o 0,060 m. Vypočtěte, s jakou frekvencí bude na této pružině kmitat těleso o hmotnosti 4,0 kg.

1,43 Hz

Cvičení 8

Vážení ve vesmíru. Astronauti na ISS se nacházejí ve stavu beztíže, což vede k úbytku jejich svalové hmoty a řídnutí kostí. Proto je nezbytné pravidelné měření hmotnosti. Pro inspiraci si pusťte následující video https://www.youtube.com/watch?v=oU3pp_4n84U.

Pomocí videoanalýzy nebo (rychleji, ale méně přesně) pomocí stopek na mobilu zjistěte periodu \(T_1\) kmitání stroje samotného a periodu \(T_2\) kmitání stroje s astronautem. Za předpokladu, že se jedná o pružinový oscilátor, jehož pohyblivé rameno bez astronauta má hmotnost \(m_1=5{,}9\ \mathrm{kg}\), vypočítejte

tuhost pružiny,
hmotnost astronauta.

\(k=3{,}6\cdot10^2\ \mathrm{N/m}\); \(M=71\ \mathrm{kg}\)

Cvičení 9

Jestliže na pružinu, která se nachází ve svislém pouzdře, položíme kuličku o hmotnosti \(m=100\ \mathrm{g}\), pružina se stlačí o úsek délky \(y_1=2{,}0\ \mathrm{mm}\). Do jaké výšky nad nezatíženou pružinu vyletí kulička, když pružinu s kuličkou stlačíme o 5,0 cm a pak ji uvolníme? Zanedbáme hmotnost pružiny, tření a odpor vzduchu.

Vrh svislý s počáteční rychlostí \(v_0=3{,}5\ \mathrm{m/s}\); \(h=57,5\ \mathrm{cm}\).

Kyvadlo

Ve cvičeních dosazujte hodnotu \(g=9{,}80\ \mathrm{m/s}^2\).

Cvičení 1

Jakou délku závěsu musí mít kyvadlo, aby se pohybovalo s periodou 1,00 s?

24,8 cm

Cvičení 2

Malé závaží o hmotnosti 50 g zavěšené na provázku o délce 70 cm vychýlíme z rovnovážné polohy o úhel 25°. Jakou má v této poloze tíhovou potenciální energii? Výška a potenciální energie jsou nulové v rovnovážné poloze.

32,1 mJ

Cvičení 3

Slovně popište, jak se mění různé formy energie při pohybu ABCD (viz obrázek 21.41). Popište, jak se mění rychlost. Zakreslete vektory rychlosti v bodech A, B, C, D.

21.41 – Cvičení 3, přeměny forem energie při pohybu kyvadla.
Zdroj

Cvičení 4

Malou kuličku o hmotnosti 100 g zavěsíme na provázek o délce 60 cm, vychýlíme ji z rovnovážné polohy o úhel 10° a bez počáteční rychlosti ji uvolníme. Vypočítejte

frekvenci a periodu kmitů,
rychlost, s jakou bude kulička procházet rovnovážnou polohou,
tahovou sílu provázku v okamžiku, kdy kulička prochází rovnovážnou polohou. Kulička v rovnovážné poloze nesetrvává, ale pohybuje se křivočaře, proto se síly nemohou vyrušit.

0,64 Hz; 1,55 s;
0,42 m/s;
1,01 N

Cvičení 5

Je v některém z bodů A, B, C, D na obrázku 21.41 ve cvičení 3 zrychlení kuličky nulové? Odpověď pečlivě zdůvodněte. Zakreslete vektor zrychlení v těchto bodech.

V žádném bodě trajektorie se u kmitajícího matematického kyvadla síly nevyruší, proto je jeho zrychlení vždy nenulové.

Cvičení 6

Zkrátíme-li délku závěsu matematického kyvadla o 20 cm, zkrátí se perioda jeho kmitů na 0,90 s. Vypočtěte původní periodu kmitů.

1,27 s

Cvičení 7

Zkrátíme-li délku závěsu matematického kyvadla o 30 cm, zkrátí se perioda jeho kmitů o 0,5 s. Vypočtěte původní periodu kmitů.

1,46 s

Cvičení 8

Úvodní strana románu Foucaultovo kyvadlo, jehož autorem je Umberto Eco, v překladu Zdeňka Frýborta, vydal Český klub NJŠ v roce 1999. Objevíte v tomto úryvku fyzikálně neobhajitelná tvrzení?

Perioda kmitání je úměrná druhé odmocnině délky kyvadla. Čas potřebný k překonání vzdálenosti mezi oběma póly není výsledkem tajemného spiknutí nejméně pozemských měr, ale právě naopak – závisí na tíhovém zrychlení v daném místě na povrchu Země. Dále by se s úspěchem dalo polemizovat o počtu dimenzí prostoru, v němž se rovina kývání otáčí (žijeme ve 3D), a o potrojnosti čísla \(\pi\) s neukončeným desetinným rozvojem. Na vzorec pro periodu kyvadla si skutečně může přijít každý sám, pokud si zkusí praktikum v této kapitole. 🙂