Konstrukce vektoru rychlosti

Úkol: Zkonstruujte vektor rychlosti ze záznamu jednotlivých po sobě jdoucích pozic.

Teoretický úvod – jak můžeme získat záznam pohybu?

Pomocí kamery nebo mobilního telefonu můžeme snadno získat záznam pohybu. Videosekvence není nic jiného než řada rychle po sobě jdoucích obrázků zaznamenávajících určitou situaci. Obrázky jsou většinou snímány v pravidelných intervalech s frekvencí, která se může měnit od 24 FPS pro klasický film až po hodnoty, které přesahují 1000 FPS pro vysokorychlostní kamery. (FPS = frame per seconde znamená počet obrázků za sekundu). Časový interval, který odděluje dva po sobě jdoucí snímky, značíme \(\tau\). Odpovídá převrácené frekvenci nahrávání.

Kamera je nehybná vzhledem k pozadí snímku, a proto můžeme zaznamenat na každém snímku polohu studovaného předmětu. Snadno tak zaznamenáme na jeden snímek postupné polohy předmětu v pohybu. Abychom mohli provést kinematickou analýzu pohybu, musíme znát interval \(\tau\) a měřítko skutečných vzdáleností zobrazených na nahrávce. Předpokládáme, že fotografie znázorňuje kolmý náhled na situaci.

Záznam č. 1

Zobrazení ve skutečné velikosti, \(\tau=20\ \mathrm{ms}\).

Nejprve vypočítejte velikost rychlosti v bodech M₁, M₅, M₁₀, M₁₇ a M₂₀ a poté tyto vektory znázorněte do obrázku (ke stažení zde). Pro znázornění vektorů rychlosti použijte měřítko \(1\ \mathrm{m}/s \hat{=} 5\ \mathrm{cm}\).

Záznam č. 2

Zobrazení ve skutečné velikosti, \(\tau=40\ \mathrm{ms}\).

Nejprve vypočítejte hodnotu velikosti rychlosti v bodech M₃, M₆, M₉ a M₁₂ a poté tyto vektory znázorněte do obrázku (ke stažení zde). Pro znázornění vektorů rychlosti použijte vhodné měřítko, které také zapište do obrázku.

Za předpokladu, že jde o pohyb rovnoměrně zrychlený, určete hodnotu zrychlení \(a\) a velikost počáteční rychlosti \(v_0\) studovaného pohybu.

Záznam č. 3

Záznam pohybu je v měřítku 1 : 5 (1 cm na obrázku \( \hat{=} \) 5 cm ve skutečnosti), \(\tau=10\ \mathrm{ms}\).

1. Nejprve vypočítejte hodnotu velikosti rychlosti v bodech M₃, M₆, M₉ a poté tyto vektory znázorněte do obrázku (ke stažení zde). Nezapomeňte uvést měřítko znázornění vektorů rychlosti.
2. Najděte střed O kruhové trajektorie pohybu tělesa.
3. Určete poloměr \(R\) této trajektorie.
4. Jedná se o rovnoměrný pohyb?
5. Jsou vektory rychlosti konstantní?

Průměrná a okamžitá rychlost

Úkol:

1. Změřte průměrnou rychlost autíčka klasickou metodou.
2. Měřte průměrnou rychlost kuličky na vodorovné rovině pomocí optických závor.

Vybavení: metr, stopky, optická závora (2 ks), ocelová kulička, autíčko na baterie

Aktivita č. 1 – průměrná rychlost klasickou metodou

V této aktivitě použijeme k určení průměrné rychlosti klasickou metodu, tedy využijeme metr a stopky. Vzhledem k ručnímu měření času je vhodné studovat pohyb autíčka, které jezdí pomalu. Vyznačíme na stole vzdálenost \(d=1\ \mathrm{m}\) a měříme dobu, za kterou autíčko urazí vyznačenou vzdálenost. Výsledky zapíšeme do tabulky, měření několikrát opakujeme a vypočítáme průměrnou hodnotu průměrné rychlosti autíčka včetně nejistot měření.

Aktivita č. 2 – průměrná a okamžitá rychlost (optická závora)

Pro určení průměrné rychlosti tělesa, jehož pohyb je tak rychlý, že ruční měření nedává dostačující výsledky, použijeme dvě optické závory umístěné na vzdálenost \(d\). Pomocí nich určíme čas \(t_1\), kdy těleso „vjede“ do měřeného úseku, a čas \(t_2\), kdy z něj „vystoupí“. Velikost průměrné rychlosti opět spočítáme z definice \(v_\mathrm{p}=d/(t_2-t_1)\).

Postup: Připravte si nakloněnou rovinu a umístěte na ni dvě optické závory připojené k počítači (viz schéma experimentu).

Uvolněte kuličku bez počáteční rychlosti z místa A na nakloněné rovině (vzdálenost \(l\) je konstantní) a pomocí optických závor určete průměrnou rychlost kuličky na vzdálenosti \(d\). Při opakování experimentu změňte vzdálenost \(d\) mezi závorami a opět vypočítejte průměrnou rychlost.

Otázky:

1. Jak se mění velikost průměrné rychlosti v závislosti na vzdálenosti \(d\) mezi závorami?
2. Co z toho můžeme usoudit o pohybu kuličky?
3. Jakou máme tedy volit vzdálenost \(d\) při měření průměrné rychlosti?
4. Když bude tato vzdálenost velmi malá, co můžeme říci o časech \(t_1\) a \(t_2\)?
5. Můžeme změřit průměrnou rychlost kuličky za použití jedné optické závory?

Modelování trajektorií

Úkol: Vytvořte modely trajektorií pomocí programu Geogebra. Také prozkoumejte některé zajímavé křivky.

Vybavení: počítač

Trajektorie pohybu molekuly vzduchu v místnosti nebo člověka pohybujícího se po obchodním centru jsou složité a těžko matematicky popsatelné. Občas se však také setkáváme s pohyby, jejichž trajektoriemi jsou poměrně jednoduché křivky. Planeta obíhá kolem Slunce po elipse, vržený kámen letí přibližně po parabole, elektricky nabité částice se mohou v  magnetickém poli pohybovat po šroubovicích. My zde nebudeme určovat tvary trajektorií v jednotlivých případech, ale naučíme se zobrazovat již známé trajektorie v programu Geogebra.

Použijeme k tomu dvě metody:

• souřadnice bodu jako funkce času,
• trajektorie jako křivka.

Obě jsou založené na tom, že souřadnice bodu budou záviset na parametru \(t\), který reprezentuje čas.

Postup:

1. Seznamte se s návody konstrukce trajektorií v Geogebře (viz níže) a vyzkoušejte si, že dokážete znázornit jednoduchou trajektorii oběma způsoby.
2. Ve vzorovém příkladu jsme zvolili trajektorii bodu \((x,y)=(3,t)\). Jelikož v Geogebře nejsou jednotky, budeme pracovat v metrech a sekundách. To znamená, že pro náš bod platí: \(x=3\ \mathrm{m}\), \(y=1\ \mathrm{m/s}\cdot t\), kdy čas \(t\) je v rozmezí 0 s až 5 s. To představuje pohyb bodu po úsečce ve směru osy \(y\) rychlostí \(v=1\ \mathrm{m/s}\). Vyzkoušejte si nyní měnit rychlost a směr pohybu bodu a také jeho počáteční polohu. Nezapomeňte, že rychlost má v obecném případě dvě složky.
3. Vyřešte pomocí grafů pohybu klasickou úlohu o pohybu: Vítek vyráží na koloběžce po rovné cestě od chalupy k rybníku rychlostí 2 m/s. Ve stejnou dobu mu vyráží naproti Tereza na kole rychlostí 5 m/s. Vzdálenost chalupy a rybníka je 2 400 m. Kde se obě děti potkají?
4. Vyřešte pomocí modelování trajektorií 2D úlohu o pohybu: Vítek vyplul z přístavu v poloze \((0\ \mathrm{m};0\ \mathrm{m})\) rychlostí \(v=(4\ \mathrm{m/s};3\ \mathrm{m/s})\) a pokračuje stále dál na volné moře. Z pláže v poloze \((3\,000\ \mathrm{m};0\ \mathrm{m})\) za ním vyráží ve stejném okamžiku Tereza. Maximální velikost rychlosti člunu je 5 m/s. Jakou rychlostí musí Tereza plout, aby se s Vítkem setkala? Kdy a kde pak dojde k setkání? Uspořádejte malou soutěž, kdo se k Vítkovi dostane nejdřív!
5. Nyní se můžeme pustit do modelování křivočarých trajektorií. Jelikož křivek je obrovské množství, vybrali jsme kružnici a jí příbuzné křivky. Prozkoumejte vliv různých parametrů na tvar křivek.

Otázky:

1. Jak změníte rychlost a směr pohybu po kružnici?
2. Jak změníte polohu kružnice v soustavě souřadnic?
3. Jak nakreslíte jen vybranou část kružnice?

Návody konstrukce trajektorií v Geogebře

Souřadnice bodu jako funkce času:

1. Vytvořte posuvník s proměnnou t, která bude reprezentovat čas, zvolte rozsah od 0 do 5.
2. Vytvořte kdekoliv nový bod.
3. Do okének pro souřadnice bodu zapište (3, t). Poté pohybujte posuvníkem a sledujte pohyb bodu. Pokud chcete zobrazit trajektorii bodu, zvolte v jeho nastavení možnost „zobrazit stopu“. Váš bod by se měl pohybovat ve směru osy y, zatímco x-ová souřadnice bude stále rovna 3 (viz obrázek).
4. To je celé. Teď stačí zapisovat do závorek k souřadnicím bodu správné výrazy a můžete začít s modelováním (viz úkoly). Pokud byste chtěli, aby se bod pohyboval sám a plynule, můžete na posuvníku zvolit možnost „animace“.

Trajektorie jako křivka:

1. Přidejte nový objekt – křivku – pomocí následujícího schématu:

   1. Krivka(Výraz, Výraz, Parametr proměnné, Poč. hodnota, Koncová hodnota)
   2. Na místo prvního výrazu zapište 3 (souřadnice x),
   3. na místo druhého výrazu napište t (souřadnice y),
   4. na místo parametru proměnné napište t (volba názvu parametru),
   5. jako počáteční hodnotu napište 0 (parametr t začne od nuly),
   6. jako koncovou hodnotu napište 5 (parametr t skončí hodnotou 5).

2. Měla by se vám vykreslit křivka, které se shoduje s trajektorií vytvořenou pohybem posuvníku.

3. To je celé. Teď stačí zapisovat do závorky ke křivce správné výrazy a můžete začít s modelováním (viz úkoly níže). V tomto případě nám Geogebra vykreslí celou trajektorii naráz jako křivku, nemůžeme tedy simulovat, jak se bod pohybuje. Zato však křivku máme narýsovanou přesněji než pomocí stopy.

Vybrané křivky

Poznámka: Do funkcí sinus a cosinus dosazujeme pouze číselnou hodnotu času.

Poznámky pro učitele

Řešení úlohy v bodu 2:

K setkání dojde za 343 s ve vzdálenosti 686 m od chalupy.

Řešení úlohy v bodu 3: Toto je řešení, kdy se lodě setkají v nejkratším možném čase 375 s. Tereza musí mít rychlost (–4 m/s, 3 m/s).