Polohový vektor a posunutí

Cvičení 1

Určete složky polohových vektorů bodů A, B, C a D.

14.42 – Složky polohových vektorů.
Zdroj

\(\Vec{r}_A=(7;-4)\), \(\Vec{r}_B=(-6;2)\), \(\Vec{r}_C=(5;5)\), \(\Vec{r}_D=(0;8)\)

Cvičení 2

Zakreslete do kartézského souřadnicového systému polohové vektory \(\Vec{r}_1=(-4;3)\), \(\Vec{r}_2=(7;1)\), \(\Vec{r}_3=(7;-4)\), \(\Vec{r}_4=(2;-8)\)

14.43 – Polohové vektory – řešení.
Zdroj

Cvičení 3

Mirek sedí v učebně fyziky (viz nákres).

Určete polohový vektor, který určuje jeho místo v dané souřadnicové soustavě.
Zapište vektor posunutí, když přejde za Tomášem, aby si půjčil zapomenuté pravítko.
Nakreslete oba vektory do obrázku.
Jaké budou složky vektoru posunutí, když se bude vracet zpět na své místo?
Mirkovi se líbí spolužačka Marcela. Obvykle sedává na místě o souřadnicích (3 m; 1,5 m). Vidí na ni Mirek ze svého místa?

\(\Vec{r}_\mathrm{M}=(1\ \mathrm{m};4{,}5\ \mathrm{m})\)
\(\Vec{r}_\mathrm{T}=(-2\ \mathrm{m};3\ \mathrm{m})\), \(\Delta\Vec{r}=\Vec{r}_\mathrm{T}-\Vec{r}_\mathrm{M}=(-3\ \mathrm{m};-1{,}5\ \mathrm{m})\)
řešení je na obrázku
\(\Delta\Vec{r}=\Vec{r}_\mathrm{M}-\Vec{r}_\mathrm{T}=(3\ \mathrm{m};1{,}5\ \mathrm{m})\)
ano, vidí

14.45 – Jak sedí žáci ve třídě – řešení.
Zdroj

Cvičení 4

Andrew má v plánu navštívit po vyučování knihovnu Pauliny Robinsonové (Denver, USA).

Určete souřadnice jeho školy Smith Renaissance School a souřadnice knihovny v zadaném souřadnicovém systému.
Určete vektor posunutí mezi školou a knihovnou.
Vypočítejte velikost vektoru posunutí. Odpovídá tato vzdálenost uražené vzdálenosti? Vysvětlete.

\(\Vec{r}_\mathrm{s}=(150\ \mathrm{m};350\ \mathrm{m}\), \(\Vec{r}_\mathrm{l}=(-250\ \mathrm{m};50\ \mathrm{m})\)
\(\Delta\Vec{r}=\Vec{r}_\mathrm{l}-\Vec{r}_\mathrm{s}=(-400\ \mathrm{m};-300\ \mathrm{m})\)
\(|\Delta\Vec{r}|=500\ \mathrm{m}\), neodpovídá, uražená vzdálenost je větší

Cvičení 5

Vlaky mezi Kolínem a Prahou jezdí velmi rychle. Za Velimí následuje naprosto přímý úsek, kde vlaky dosahují maximálních rychlosti.

14.47 – Záznam pohybu vlaku mezi Velimí a Pečkami.
Zdroj

Popište pohyb vlaku dle tvaru trajektorie.
Časový interval, který uplynul mezi označením dvou po sobě jdoucích poloh obrázku, je 30 s. Polohu vlaku budeme zaznamenávat vůči městu Plaňany. Znázorněte polohové vektory vlaku v bodech M₃ a M₄. Co o nich můžete říci?

Zaneste do tabulky složky všech vektorů polohy z tohoto příkladu:

polohový vektor	x-ová složka polohového vektoru (km)	y-ová složka polohového vektoru (km)
\(\Vec{r}_1\)
\(\Vec{r}_2\)
\(\Vec{r}_3\)
\(\Vec{r}_4\)
\(\Vec{r}_5\)
\(\Vec{r}_6\)
\(\Vec{r}_7\)
\(\Vec{r}_8\)

Sestrojte grafy x-ové a y-ové souřadnice v závislosti na čase.
Jak budou tyto grafy vypadat, když bude vlak stát v zastávce?

rovnoměrný přímočarý pohyb;
vektory nejsou shodné, poloha se mění, \(\Vec{r}_3=(4{,}3\ \mathrm{km};2{,}7\ \mathrm{km})\), \(\Vec{r}_4=(3{,}0\ \mathrm{km};3{,}1\ \mathrm{km})\), \(\Vec{r}_3\ne\Vec{r}_4\), polohové vektory jsou na obrázku;
složky polohových vektorů jsou v tabulce;
souřadnice jsou zakresleny v obrázku;
jestliže vlak stojí v zastávce, grafem složek polohového vektoru jsou konstantní funkce

14.48 – Záznam pohybu vlaku mezi Velimí a Pečkami – řešení.
Zdroj

polohový vektor	x-ová složka polohového vektoru (km)	y-ová složka polohového vektoru (km)
\(\Vec{r}_1\)	6,8	1,9
\(\Vec{r}_2\)	5,5	2,3
\(\Vec{r}_3\)	4,3	2,7
\(\Vec{r}_4\)	3,0	3,1
\(\Vec{r}_5\)	1,8	3,6
\(\Vec{r}_6\)	0,6	4,0
\(\Vec{r}_7\)	−0,7	4,4
\(\Vec{r}_8\)	−1,9	4,9

Cvičení 6

Těleso vykonává rovnoměrný pohyb. Jeho souřadnice splňují rovnice:

\[ x=2+3t \quad\hbox{a}\quad y=-4+2t\;, \quad t\in\Bbb{R}\;. \]

Zakreslete polohy tělesa v rovině pro \(t=0,1,\dots,5\). Jaký je tvar trajektorie tělesa?
Poznámka: Proměnná \(t\) představuje čas v sekundách. Souřadnice x a y jsou v metrech. Lineární koeficienty 3 a 2 představují složky rychlosti v m/s.

trajektorií tělesa je přímka, řešení je zakresleno na obrázku

14.50 – Trajektorie tělesa – rovnoměrný přímočarý pohyb.
Zdroj

Cvičení 7

Těleso vykonává pohyb, jeho souřadnice splňují rovnice

\[ x=2t+3 \quad\hbox{a}\quad y=\frac{1}{4}t^2+4\;, \quad t\in\Bbb{R}\;. \]

Zakreslete polohy tělesa v rovině pro \(t=0,1,\dots,5\). Jaký je tvar trajektorie tělesa?

Poznámka: Proměnná \(t\) představuje čas v sekundách. Souřadnice x a y jsou v metrech. Lineární koeficient 2 odpovídá rychlosti ve směru osy \(x\) a kvadratický koeficient 1/4 souvisí se zrychlením ve směru osy \(y\).

trajektorie je křivka – parabola, řešení je zakresleno na obrázku

14.51 – Trajektorie tělesa – zrychlený křivočarý pohyb.
Zdroj

Rychlost

Cvičení 1

Ve vchodu do metra jedou proti sobě dvoje pohyblivé schody. Cestující jedoucí vzhůru (pan A) má rychlost o velikosti 1,6 m/s.

Určete složky rychlosti pana A.
Jaké jsou složky rychlosti druhého cestujícího (slečna B), jestliže je velikost rychlosti pohyblivých schodů stejná?
Jaká je trajektorie obou pohybů?
Určete velikost rychlosti a její složky pohybu prvního cestujícího vůči druhému.

\(v_{xA}=-1{,}4\ \mathrm{m/s}\), \(v_{yA}=0{,}76\ \mathrm{m/s}\);
\(v_{xB}=1{,}4\ \mathrm{m/s}\), \(v_{yB}=-0{,}76\ \mathrm{m/s}\);
trajektorií je přímka,
\(v_{xAB}=-2{,}8\ \mathrm{m/s}\), \(v_{yAB}=1{,}5\ \mathrm{m/s}\)

Cvičení 2

Vážka se na naší zemi vyskytuje již přes 250 milionů let a za tu dobu si stačila vyvinout zajímavou a velice účinnou strategii letu. Je velice rychlá a umí za letu manévrovat mnohem obratněji než jakýkoliv jiný hmyz. Aby se pro svou kořist jevila menší, skládá za letu nohy za svou hlavu. Dokonce uplatňuje zajímavou loveckou strategii, jejímž cílem je přiblížit se ke své kořisti nepozorovatelně.

Základní myšlenkou této lovecké strategie je pohybovat se takovým způsobem, že se kořisti bude zdát, že vážka je stále na stejném místě. Ačkoliv se ke své kořisti přibližuje, z jejího pohledu bude stále na stejném místě, a když zaregistruje, že se vážka příliš přiblížila, již bude pozdě, aby jí unikla.

Představme si, že takový lov probíhá následujícím způsobem. Moucha se pohybuje ve směru osy y rychlostí o velikosti \(v_\mathrm{m}=0{,}750\ \mathrm{m/s}\) a vážka se přibližuje pod úhlem 48,5° vzhledem k ose \(x\) konstantní rychlostí \(v_\mathrm{v}\).

Jaká musí být rychlost vážky \(v_\mathrm{v}\), aby se pohybovala stále na stejné úrovni jako moucha, a stala se tak pro ni „neviditelná“?
- 0,562 m/s
- 0,664 m/s
- 1,00 m/s
- 1,13 m/s
Řekněme, že nyní letí vážka ve směru, který svírá s osou \(x\) úhel \(\theta>48{,}5^\circ\). Je v tomto případě rychlost vážky \(v_\mathrm{v}\) větší, stejná nebo menší než v předchozím případě?
- větší
- stejná
- menší
Jakou rychlostí se musí vážka přibližovat ke kořisti, jestliže „nalétává“ pod úhlem \(\theta=68{,}5^\circ\)?
- 0,295 m/s
- 0,698 m/s
- 0,806 m/s
- 2,05 m/s
Pod jakým úhlem se vážka přibližuje ke kořisti, jestliže letí rychlostí o velikosti \(v_\mathrm{v}=0{,}950\ \mathrm{m/s}\)?
- 37,9°
- 39,3°
- 51,7°
- 52,1°

1,00 m/s;
menší;
0,806 m/s;
52,1°

Cvičení 3

Určete velikost rychlosti tělesa v bodech M₄ a M₉ na záznamu dle následujícího obrázku.

Rychlosti \(\Vec{v}_4\) a \(\Vec{v}_9\) zakreslete do obrázku. Doba, která uplynula mezi dvěma po sobě jdoucími pozicemi, je \(\tau=50\ \mathrm{ms}\). Doporučené měřítko: 1 cm odpovídá 6 cm/s. (PDF ke stažení)

Jaké jsou složky rychlosti v těchto bodech? Tyto složky správně zapište.

\(v_4=30\ \mathrm{cm/s}\), \(v_9=24\ \mathrm{cm/s}\); složky rychlosti závisí na volbě soustavy souřadnic (orientaci os), více možných řešení

Cvičení 4

Na počátku září 2008 přerostla tropická bouře v Antlantiku na hurikán jménem Ike.

Během prvních tří dnů byly jeho souřadnice následující:

	latitude (°N)	longitude (°W)
1. září 2008	17,2	37
3. září 2008	19,8	47,3
5. září 2008	23,6	59
6. září 2008 (předpověď)
6. září (skutečnost)

Zakreslete polohu hurikánu do mapy (viz soubor ke stažení).
Vytvořte předpověď dalšího pohybu hurikánu na základě analýzy dat z předchozích dnů.
Určete skutečnou polohu hurikánu dne 6. září 2008, jestliže víte, že za 24 hodin se posunul o −0,8°N a 5,9°W. Odpovídá to vaší předpovědi?
Jestliže za další dva dny se hurikán posunul o −1,7°N a 10,3°W, můžeme říci, že míří na Floridu, na Kubu nebo na Dominikánskou republiku?
Pokud vás zajímá, jak se situace vyvíjela dál, podívejte se na stránku National Hurricane Center.

14.56 – Karibské moře a jeho okolí.
Zdroj

14.57 – Pohyb hurikánu Ike v září 2008.
Zdroj

Cvičení 5

Následující fotografie golfového hráče byla vytvořena pomocí zábleskového zařízení, které osvětlovalo pohybujícího se hráče v intervalech 1/50 s. Výška postavy hráče je 1,80 m. Předpokládejme, že pohyb nastal v rovině kolmé k povrchu Země.

Sestrojte vektory rychlosti konce golfové hole těsně před tím a těsně potom, než uvede míček do pohybu. Upřesněte použité měřítko.
Jaká je rychlost golfového míčku po uvedení do pohybu?
Vypočítejte velikost zrychlení míčku po jeho uvedení do pohybu.

14.58 – Chronofotografie odpalu golfového míčku.
Zdroj

14.59 – Záznam pohybu golfové hole a míčku.
Zdroj

Více o golfu: https://www.jamkoviste.cz/zajimavosti/285-rychlost-golfoveho-micku/

PDF ke stažení zde.

\(v_{\mathrm{H}4}=20{,}5\ \mathrm{m/s}\), \(v_{\mathrm{H}6}=18\ \mathrm{m/s}\)
\(v_{\mathrm{M}2}=25{,}5\ \mathrm{m/s}\)
\(a=1\,275\ \mathrm{m/s}^2\)

Zrychlení

Cvičení 1

Prohlédněte si zákres několika po sobě jdoucích poloh tělesa (PDF ke stažení zde).

Jaký pohyb vykonává těleso? Zdůvodněte.
Určete zrychlení tělesa v bodě M₃ a v bodě M₆. Mezi označením dvou po sobě jdoucích poloh uplynulo 20 ms.

Těleso vykonává přímočarý, zrychlený pohyb. Po sobě jdoucí pozice jsou od sebe stále více vzdáleny.
a₃ = 9,4 m/s², a₅ = 15,6 m/s²

Cvičení 2

Mirek studoval pohyb kapky vody v oleji. Nejprve naplnil odměrný válec rostlinným olejem a poté na jeho hladinu umístil malou kapku vody. Když do ní lehce strčil prstem, začala se kapička pohybovat směrem dolů. V okamžiku, kdy procházela kolem značky 100 ml na odměrném válci, začal Mirek měřit čas a ten zaznamenal vždy, když kapička míjela další značku (90 ml, 80 ml, …). Naměřené hodnoty jsou uvedeny v tabulce.

t (s)	0	1,9	3,7	5,8	8,1	10,0	11,9	14,2	16,4	18,2	20,1
x (cm)	0	1,7	3,3	5,0	6,7	8,4	10,0	11,7	13,4	15	16,7

Vysvětlete, proč kapka držela na hladině vody a proč se po postrčení začala pohybovat dolů.
Dokážete určit, jak Mirek získal souřadnici popisující pohyb kapky vody?
Vypočítejte rychlost kapky v časech \(t_4=5{,}8\ \mathrm{s}\) a \(t_7=10{,}2\ \mathrm{s}\).
Co můžete říci o druhu tohoto pohybu a proč? Odpovídá tento výsledek reálné situaci?

Kapka byla držena na hladině oleje jeho povrchovým napětím. Když se dostala pod hladinu, začala klesat, protože její hustota je větší než hustota oleje.
Mirek změřil vzdálenost mezi několika dílky na odměrném válci a podělil počtem vzdáleností.
\(v_4=0{,}77\ \mathrm{cm/s}\) \(v_7=0{,}79\ \mathrm{cm/s}\);
pohyb je přímočarý a patrně rovnoměrný, protože rychlosti \(v_4\) a \(v_7\) jsou prakticky stejné velikosti. Výsledek odpovídá reálné situaci, protože odporová síla při pohybu v kapalině je srovnatelná s tíhou kapičky.

Cvičení 3

Těleso vykonávalo pohyb, jehož souřadnice jsou zaznamenány v následující tabulce.

t (s)	x (cm)	y (cm)
0	1,0	3,0
0,3	2,1	4,7
0,6	3,0	6,1
0,9	3,8	7,2
1,2	4,4	8,0
1,5	4,8	8,6
1,8	5,0	8,9

Zakreslete jednotlivé polohy tělesa na papír. (Sestrojte graf trajektorie pohybu tělesa.) Jaký pohyb těleso vykonává?
Jak budete postupovat, když chcete určit rychlost tělesa v časovém okamžiku \(t=0{,}6\ \mathrm{s}\)? Určete velikost této rychlosti.
Podobně určete rychlost tělesa v okamžiku \(t=1{,}2\ \mathrm{s}\).
Jaké je zrychlení tělesa v čase \(t=0{,}9\ \mathrm{s}\)?

řešení je zakresleno na obrázku, těleso koná přímočarý zpomalený pohyb;
máme v principu dvě možnosti: buďto určíme velikost rychlosti pomocí měření vzdálenosti dvou bodů sousedících se studovaným bodem na našem grafu, nebo v tabulce určíme složky rychlosti a z nich potom velikost rychlosti, \(v(t=0{,}6\ \mathrm{s})=5{,}0\ \mathrm{cm/s}\);
\(v(t=1{,}2\ \mathrm{s})=2{,}9\ \mathrm{cm/s}\);
\(a(t=0{,}9\ \mathrm{s})=3{,}6\ \mathrm{cm/s}^2\)

14.61 – Trajektorie pohybu tělesa.
Zdroj

Cvičení 4

Vojta studoval ve fyzikální laboratoři pohyb tělesa. Záznam videokamerou převedl do počítače a získal přiložený záznam (ke stažení zde). Tento záznam je v měřítku 1 : 10. Doba, která odděluje dvě sousední značky, je \(\tau=40\ \mathrm{ms}\) (25 FPS). Těleso se pohybuje směrem od A k B.

Vyberte si soustavu souřadnic včetně počátku a zakreslete ji do obrázku.
Znázorněte polohové vektory tělesa v bodech A a B.
Jaký je směr vektoru rychlosti v bodech A a B?
Spočítejte rychlost tělesa v těchto bodech.
Zakreslete do obrázku tyto dva vektory rychlosti. Nezapomeňte uvést měřítko.
Jde o pohyb rovnoměrný nebo zrychlený? Odpověď zdůvodněte, vypočítejte velikost zrychlení tělesa.

viz obrázek 14.63;
viz obrázek 14.63;
vektory rychlosti ve studovaných bodech jsou orientovány směrem dolů, tedy od A k B;
\(v_A=3{,}5\ \mathrm{m/s}\), \(v_B=4{,}4\ \mathrm{m/s}\);
viz obrázek 14.63;
měřítko: \(1\ \mathrm{cm}\ \widehat{=}\ 1{,}0\ \mathrm{m/s}\);
pohyb je zrychlený, velikost rychlosti narůstá, \(a=11{,}3\ \mathrm{m/s}^2\)

t (s)	x (cm)	y (cm)
0	1,0	3,0
0,3	2,1	4,7
0,6	3,0	6,1
0,9	3,8	7,2
1,2	4,4	8,0
1,5	4,8	8,6
1,8	5,0	8,9

t (s)	x (cm)	y (cm)
0	1,0	3,0
0,3	2,1	4,7
0,6	3,0	6,1
0,9	3,8	7,2
1,2	4,4	8,0
1,5	4,8	8,6
1,8	5,0	8,9

t (s)	x (cm)	y (cm)
0	1,0	3,0
0,3	2,1	4,7
0,6	3,0	6,1
0,9	3,8	7,2
1,2	4,4	8,0
1,5	4,8	8,6
1,8	5,0	8,9