Archimédova úloha

Úkol: Navrhněte a otestujte metodu, pomocí které dokážete na základě experimentu stanovit, z jakého kovu jsou vyrobeny české mince (10, 20 a 50 Kč).

Vybavení: cokoliv, co najdete v laboratoři.

Tento úkol se tradiční laboratorní úloze podobá méně, ale o to více se přibližuje reálné vědecké práci. Při výzkumu vám nikdo neřekne, jak máte postupovat. Správnou cestu musíte metodou pokus–omyl najít sami. Ovšem nikoliv náhodným zkoušením, ale s využitím vašich teoretických znalostí.

Mějte na paměti, že vaše metoda musí být dostatečně jednoduchá a zároveň dostatečně přesná. Vaší výhodou je, že můžete v případě nouze požádat o radu svého učitele.

Součástí vědeckého postupu bývá také studium zdrojů. To znamená, že než začnete vlastní výzkum, podíváte se, čeho už dosáhli vaši předchůdci. V tomto případě vám může být nápovědou samotný název tohoto cvičení. Legenda praví, že Archimédés dostal kdysi od krále Hierona II. podobný úkol: zjistit, zda je královská koruna z ryzího zlata. Archimédés vyvážil korunu zlatem na rovnoramenné váze a poté vše ponořil pod vodu. Rovnováha se porušila a reklamace byla na světě.

Postup měření:

1. Navrhněte jednu nebo více metod měření a zkuste předem odhadnout jejich výhody a nevýhody.
2. S pomocí učitele si zvolte jednu metodu k praktickému otestování.
3. Proveďte zvolenou metodou pokusné měření včetně vyhodnocení výsledků.
4. Dojdete-li k závěru, že metoda nefunguje, vraťte se k bodu číslo 1. Dojdete-li k závěru, že metoda funguje, pak (a) zapište stručný návod postupu měření a (b) zpracujte vámi naměřené hodnoty a odpovězte na otázku, z čeho jsou mince vyrobeny.

Otázky:

Jaké má vaše metoda výhody a nevýhody? Co je největším zdrojem pochybnosti o správnosti vaší metody?

Poznámky pro učitele

Je vhodné připravit si sérii drobných nápověd pro studenty, a to jak teoretického, tak praktického rázu. Bez nich se většina studentů do cíle nedostane. Na druhou stranu není cílem je do optimálního postupu nutit násilím. Podle dosavadních zkušeností vedou k cíli v zásadě dvě metody:

1. Výpočet objemu mincí na základě měření jejich rozměrů a následný výpočet hustoty.
2. Výpočet objemu mincí pomocí měření vztlakové síly, tedy vážení mincí ve vodě a na vzduchu.

Měření objemu mincí odměrným válcem je příliš nepřesné, prakticky těžko použitelné, pokud máme k dispozici jen jednu nebo několik mincí. Návod studenty pochopitelně směřuje k měření vztlakové síly, ale nemusí ji všichni využít.

Vzorové řešení (pomocí měření vztlakové síly):

Ponořením mince do vody na laboratorní váze (viz obrázek) získáme velikost vztlakové síly působící na minci. Pomocí vzorce pro vztlakovou sílu pak získáme objem mince. V našem případě ukázala váha \(m^*=1{,}0\ \mathrm{g}\), proto objem mince je \(V=m^*/\varrho=0{,}001/1000\ \mathrm{m^3} = 10^{-6}\ \mathrm{m^3}\). Hmotnost mince 20 Kč je \(m=8{,}4\ \mathrm{g}\). Dostáváme tedy hustotu \(\varrho=m/V=0{,}0084/10^{-6}\ \mathrm{kg/m^3} = 8400\ \mathrm{kg/m^3}\). Podle ČNB je složení mince „ocel plátovaná slitinou mědi a zinku v poměru 75:25“. Přesnější informace o teoretické hodnotě hustoty tedy neznáme. Podstatným zpřesněním našeho měření by bylo použití většího počtu mincí.

Objevení vztahu pro vztlakovou sílu

Úkol: Na základě experimentů určete, na čem závisí vztlaková síla.

Vybavení: siloměr (elektronický nebo pružinový) s rozsahem 2 N nebo 5 N, tři odměrné válce 100 ml, líh, voda, solanka, tělesa o stejném objemu z různých materiálů (plast, hliník, železo, měď), provázek, laboratorní stativ.

Postup měření:

Připravme si do tří odměrných válců stejné velikosti tři různé kapaliny, do prvního líh, do druhého vodu, do třetího solanku. Vezměme kovový váleček (železo nebo hliník), zavěsme jej na siloměr a postupně ponořme do jednotlivých kapalin. Co bude siloměr ukazovat? A co vlastně ukazuje siloměr, když je váleček zavěšen ve vzduchu? Rozeberme si to podrobněji.

Po ponoření válečku do kapaliny je váleček nadlehčován vztlakovou silou F_vz, a proto údaj na siloměru ukazuje menší hodnotu. (Vidíme, že velikost tahové síly provázku spojeného se siloměrem je menší.) Z rozdílu velikosti tíhové síly na vzduchu a výsledné síly v kapalině můžeme určit velikost vztlakové síly, kterou je váleček nadlehčován.

Vyslovte několik hypotéz, na čem by mohla záviset velikost vztlakové síly působící na pevné těleso v kapalině. Své hypotézy prověřte experimenty.

Inspirovat se můžete následující tabulkou:

Otázky:

1. Závisí velikost vztlakové síly na hustotě tělesa?
2. Závisí velikost vztlakové síly na hustotě kapaliny?
3. Na čem by ještě mohla záviset velikost vztlakové síly? Navrhněte experiment, který by vaši domněnku potvrdil, nebo vyvrátil. Diskutujte o svém návrhu se spolužáky. Proveďte experiment, je-li to možné.
4. Působí vztlaková síla i ve vzduchu? Uveďte příklad pozorování, které to potvrzuje, nebo vyvrací.
5. Jak mohou velké zaoceánské lodě, které mají obrovskou hmotnost (např. Queen Mary – 82 000 tun), plout? Proč ihned neklesnou k mořskému dnu?

Poznámky pro učitele

Naměřené hodnoty pro železný a hliníkový váleček stejného objemu ponořený postupně do vody a lihu.

	plast			hliník			železo			měď
	solanka	voda	líh	solanka	voda	líh	solanka	voda	líh	solanka	voda	líh
tíhová síla na vzduchu (N)	0,378	0,378	0,378	0,881	0,881	0,881	2,41	2,41	2,41	2,736	2,736	2,736
výsledná síla v kapalině (N)	0,008	0,04	0,112	0,515	0,558	0,637	2,034	2,076	2,155	2,383	2,422	2,494
vztlaková síla (N)	0,37	0,338	0,266	0,366	0,323	0,244	0,376	0,334	0,255	0,353	0,314	0,242

Odpor vzduchu

Úkol: Zjistěte, jak závisí odporová síla na rychlosti. Na základě experimentu rozhodněte, zda je velikost odporové síly vzduchu přímo úměrná rychlosti, nebo její druhé mocnině.

Vybavení: sada kávových filtrů, sonar, počítač, stojan.

Když ve fyzice řešíme situace týkající se volného pádu, často zanedbáváme odporovou sílu a předpokládáme tak, že je zrychlení padajícího tělesa konstantní. Ve skutečnosti však všechna tělesa s konstantním zrychlením nepadají. Naopak, jejich pohyb se vlivem odporové síly stane rovnoměrným a zrychlení bude mít nulovou hodnotu.

Při pádu tělesa o hmotnosti m na něj totiž působí dvě síly: tíhová \(\Vec{F}_\mathrm{G}\) o velikosti \(mg\) a opačně orientovaná odporová síla \(\Vec{F}_\mathrm{O}\) , jejíž velikost můžeme vyjádřit buď jako \(kv\) nebo jako \(cv^2\). Když se vlivem zrychlování tělesa tyto síly vyrovnají, těleso dosáhne maximální rychlosti v_max a dále již nezrychluje. Pohyb je rovnoměrný.

Píšeme \(mg=kv_\mathrm{max}\) nebo \(mg=cv^2_\mathrm{max}\). Vidíme tedy, že hmotnost tělesa je buď úměrná maximální rychlosti v_max, nebo její druhé mocnině.

\(v_\mathrm{max}\sim m\) nebo \(v^2_\mathrm{max}\sim m\)

O tom, který z těchto vztahů odpovídá skutečnosti, můžete rozhodnout v následujícím experimentu.

Postup měření:

1. Sestavte aparaturu dle obrázku. Sonar upevněte do dostatečné výšky, stačí 2,5 m nad podlahu.
2. V režimu měření si nastavte dobu měření na 3 s, frekvenci měření 40 Hz a trigger start měření od 0,25 m; nechte si zobrazit cca 40 bodů před startem měření.
3. Umístěte ruku s kávovým filtrem 10 cm pod sonar, zapněte měření a nechte kávový filtr padat. Počítač zaznamená závislost polohy a rychlosti na čase.

   

4. Z grafu polohy odstraňte všechny případné chybové body (sonar nemusí vždy dobře zaznamenat polohu malého tělesa), popřípadě pokus opakujte.
5. Proložte posledních cca 15 naměřených bodů přímkou a z její rovnice určete maximální rychlost filtru v_max.
6. Pokus postupně opakujte pro 2–5 kávových filtrů vložených do sebe. Výsledky zapisujte do tabulky, doplňte všechny výpočty.

   počet filtrů	vmax (m/s)	v2max (m2/s2)
   1
   2
   3
   4
   5

7. Sestrojte grafy závislostí \(v_\mathrm{max} = f(m)\) a \(v^2_\mathrm{max} = f(m)\). Proložte jimi grafy přímých úměrností a rozhodněte, který z modelů odporové síly vyhovuje studované situaci.

Otázky:

1. Jak by vypadal nárůst vzdálenosti bez odporu vzduchu? Načrtněte tento graf. Porovnejte s reálnou situací.
2. Jak by vypadal nárůst rychlosti bez odporu vzduchu? Načrtněte tento graf. Porovnejte s reálnou situací.

Poznámky pro učitele

Při realizaci úlohy narazíte na několik technických problémů, které však nejsou nepřekonatelné:

• Kávový filtr příliš „zatáčí“, nepadá rovně – prolomte jeho špičku dovnitř (viz foto).

• Laboratorní stojan nestačí délkou – improvizujte na chodbě, postavte stojan se sonarem na skříň…

• Naměřená data jsou příliš „chybová“ – proveďte měření znovu, nebo odstraňte chybové hodnoty.

Ukázka výsledků:

počet filtrů	vmax (m/s)	v2max (m2/s2)
1	2,08	4,33
2	2,52	6,35
3	2,88	8,29
4	3,33	11,09
5	3,53	12,46
6	4,05	16,40