Simulace soustavy částic

Úkol: Pomocí simulace sledujte vývoj soustavy částic.

Vybavení: program pro vytváření fyzikálních simulací Algodoo (freeware, ke stažení na http://www.algodoo.com), soubor Rozdeleni.phz.

Spusťte program Algodoo a otevřte v něm soubor Rozdeleni.phz. Tento soubor modeluje krabici s přepážkou, kde v jedné části krabice je plyn (40 částic), druhá část je prázdná. Model se spouští tlačítkem „Play“ v dolní části obrazovky, zastavit jej můžete tlačítkem „Pause“. Žlutou závoru uprostřed přepážky odstraníte tak, že na ni kliknete a stisknete klávesu „Delete“.

Stav soustavy ihned po odstranění přepážky má nízkou entropii, plyn může konat práci rozpínáním do levé části krabice. Částice přecházejí do levé části a některé se vracejí zpět do pravé části. Po chvíli se ale rozmístí vcelku rovnoměrně do obou částí krabice – tohle je nejpravděpodobnější stav plynu, stav s největší entropií. Plyn už není schopen konat práci, i když jednotlivé částice energii mají.

Pravděpodobnost konkrétního stavu (tj. rozdělení částic do levé a pravé části krabice) je dána tím, kolika způsoby je možné tento stav vytvořit (tento počet označíme jako \(W\)). Pokud jsou všechny částice v jedné části krabice, je to jenom jedna možnost (ta nejméně pravděpodobná). Jak to můžeme spočítat u jiných stavů?

Představte si stav, kdy vlevo je 10 částic a vpravo 30. Pro vytvoření tohoto stavu musíme rozmístit 40 částic. Předpokládejme, že je dokážeme rozlišit (třeba jsou očíslované). První z částic můžeme umístit na 40 pozic, druhou už jenom na 39 (první pozice už je obsazená), třetí na 38, … Celkově je to \(40\cdot39\cdot38\cdot\dots\cdot3\cdot2\cdot1=40!\) (čtyřicet faktoriál) možností. To by platilo u rozlišitelných částic. Částice v modelu ale nerozlišujeme. Proto musíme výsledek vydělit 10! (všechny možnosti umístění vybraných částic v levé části krabice) a 30! (v pravé části). Dostáváme výsledek \(W=40!/(10!\cdot30!)=847\,660\,528\). Je vidět, že tento stav má nesrovnatelně větší pravděpodobnost vzniku než stav se všemi částicemi na jedné straně.

Poznámka: Výpočet lze provést také pomocí kombinačních čísel.

Obecně platí, že pokud máme v krabici \(N\) částic a v její levé části je \(n\) částic (tj. v pravé části je jich \(N-n\) ), je počet možností, jak tento stav může vzniknout,

\[ W = \frac{N!}{n!\,(N-n)!}\;. \]

S ohledem na to, že vycházejí obrovská čísla, pracuje se s přirozeným logaritmem počtu možností (logaritmováním se z velkých čísel stávají čísla uživatelsky přívětivější).

Postup měření:

1. Spusťte soubor v Algodoo.
2. Odstraňte závoru. Po 5 sekundách stopněte model a spočítejte, kolik částic je v levé a v pravé části krabice.
3. Měření opakujte po 5 s alespoň 20krát.
4. U každého změřeného stavu vypočítejte počet možností tohoto stavu \(W\).
5. Vytvořte graf závislosti \(\ln W\) na čase.

Otázky:

1. Jak se změní výsledný graf, když závoru v přepážce neodstraníte, ale pouze posunete tak, aby vznikl menší otvor než předtím?
2. Jak se bude systém chovat, když se zvýší počet částic v modelu?
3. Odhadněte na základě výpočtu, kolik je v učebně fyziky molekul.
4. Jaká je pravděpodobnost toho, že se vzduch v učebně samovolně natlačí pouze do jedné poloviny místnosti?
5. Jaké musí být mechanické vlastnosti kuliček a krabice v modelu, aby model odpovídal chování plynu?

Automobily budoucnosti

Úkol: Na základě studia dokumentů a následné diskuse odhlasuje společné stanovisko k problematice pohonu automobilů v budoucnosti.

V současnosti je velmi diskutovaným tématem problematika pohonu automobilů. Důvodem k diskusi o spalovacích motorech jsou zejména jedovaté látky, které auta vypouští do vzduchu, a také produkce skleníkového plynu CO₂. Alternativní „čisté“ pohony však mají také své nevýhody. Vaším úkolem bude porovnání vlastností jednotlivých typů pohonu a snaha o objektivní seznam hlavních výhod a nevýhod.

Dnes se nám zdá samozřejmé, že stát reguluje množství škodlivých látek, které automobily vypouští do vzduchu. Tyto tzv. emisní normy se však ve větším měřítku začaly objevovat až koncem 20. století. Historicky první emisní norma začala platit v Kalifornii roku 1968. Smogové situace, zejména v Los Angeles, byly tehdy časté a vážné. Začaly se měřit koncentrace automobilových zplodin ve vzduchu a zkoumat jejich vliv na lidské zdraví.

Dnešní normy regulují množství škodlivin na zlomek původních hodnot. Přesto zůstává automobilová doprava hlavním zdrojem znečištění vzduchu ve městech a některá města začínají uvažovat o zákazu vjezdu pro auta se spalovacím motorem.

Ohledně produkce CO₂ je situace podstatně složitější. V České republice se automobilová doprava podílí na celkové produkci skleníkových plynů asi z 15 %. I v případě elektrického pohonu dochází k produkci CO₂, neboť elektřinu je nutné nějak získat. Úspora tedy závisí na podílu bezemisních zdrojů na produkci elektřiny v dané zemi.

V další části budete podrobněji zkoumat vlastnosti 5 možných pohonů:

1. benzín
2. diesel
3. hybrid
4. 100% elektromobil
5. vodík

Postup:

1. Po dohodě si k prozkoumání rozdělte všech pět typů pohonu. Poté se již každá skupina bude věnovat pouze svému druhu pohonu. Pokud budete vyhledávat na internetu konkrétní čísla a fakta, nezapomeňte si poznamenat jejich zdroj.
2. Prostudujte princip činnosti pohonu a jeho důležité vlastnosti. Připravte si stručné shrnutí pro ostatní.
3. Připravte tabulku, kde uvedete všechny podstatné výhody a nevýhody vašeho pohonu. Vycházejte z objektivních faktů, nehodnoťte.

Po splnění úkolů proběhne prezentace, kdy skupiny představí své pohony a snaží se přitom být objektivní. Ostatní mohou klást doplňující dotazy.

V druhé fázi proběhne řízená diskuse s cílem shodnout se na společném stanovisku k problematice budoucího pohonu automobilů. Cílem je formulovat takový závěr ohledně regulace pohonu aut, pro který bude hlasovat většina přítomných. Diskutující mohou navrhovat své vlastní dílčí náměty či nápady. Nakonec byste se měli snažit dospět k celkovému stručnému návrhu řešení problému. Poznámka: ve skutečnosti je často „ďábel ukrytý v detailech“ a podobný zákon by obsahoval mnoho stran přesných formulací, hodnot, limitů, rozpočtů a podobně. My se zde spokojíme s velmi stručným a spíše obecným závěrem.

Vaše návrhy by se měly pohybovat mezi dvěma extrémy:

1. „Absolutní svoboda“ – Nebudeme provoz aut a jejich pohon nijak omezovat.
2. „Absolutní čistota“ – Zcela zakážeme provoz všech automobilů, které produkují jakékoliv škodlivé emise od roku XY.

Domácí část (úkol navíc)

Vyberte si konkrétní auto, které se vám líbí a které byste si chtěli pořídit. Využijte přitom informace, které jste se dozvěděli o typech pohonů. Při výběru byste také měli zohlednit stanovisko, které jste si odhlasovali.

1) K vašemu modelu vyhledejte všechny podstatné parametry:

2) Předpokládejte, že za 10 let ujedete se svým autem 200 000 km. Vypočítejte: