Práce a energie

V předchozích kapitolách jsme se snažili popsat pohyb těles pomocí sil, kterými na sebe působí. Nyní se seznámíme s úplně novým způsobem popisu přírody – pomocí práce a energie. Jsou to běžně používané pojmy. Často říkáme, že člověk vykonal nějakou práci, nebo že má hodně energie. Zároveň se ale jedná o fyzikální veličiny, které je nutné správně definovat (ne vždy, když pracujete, konáte také práci ve fyzikálním slova smyslu). Pojďme se proto ponořit do studia těchto tajuplných veličin.

Mechanická práce

Studujme běžnou situaci, kdy člověk posunuje křeslo po podlaze.

Na křeslo působí čtyři síly: tíhová \(\Vec{F}_\mathrm{G}\), tlaková podložky \(\Vec{F}_\mathrm{N}\), tlaková síla člověka \(\Vec{F}_\mathrm{T}\), třecí síla \(\Vec{F}_\mathrm{t}\). Vlivem těchto sil se těleso posune z bodu A do bodu B čili urazí dráhu s. Tlaková síla \(\Vec{F}_\mathrm{T}\) tlačí křeslo dopředu, působí ve směru posunutí. Kdyby působila jen ona, pohyb by se zrychloval. Třecí síla \(\Vec{F}_\mathrm{t}\) působí proti směru pohybu, má tedy na pohyb opačný účinek – brzdí ho. Síly \(\Vec{F}_\mathrm{N}\) a \(\Vec{F}_\mathrm{G}\) působí kolmo na směr pohybu čili neurychlují ani nebrzdí tento pohyb.

Chceme-li číselně vyjádřit, jakou energii daná síla předá tělesu na dráze s, definujeme veličinu

kde F je velikost síly,

s uražená dráha/posunutí

Jednotkou práce je joule J. Platí \(\mathrm{J=N\cdot m}\).

Práce se vždy vztahuje k určité síle; jde-li např. o třecí sílu \(\Vec{F}_\mathrm{t}\), píšeme \(W_\mathrm{t}=F_\mathrm{t}s\cos\alpha_\mathrm{t}\). Někdy se setkáme s formulací „člověk vykonal práci”. V tom případě se jedná o práci síly, kterou člověk působil na dané těleso. Pokud na těleso působí více různých sil, může každá síla konat jinou práci, které rozlišíme pomocí indexu.

Jak uvidíme později, práce je jeden ze způsobů, jak ukládat energii do tělesa.

Síla může vykonávat kladnou, nulovou nebo dokonce zápornou práci. Záleží na tom, jaký směr svírá vektor síly \(\Vec{F}\) a směr pohybu (viz obrázek 6.8).

Poznámka na okraj: Práce jako skalární součin

Nově zavedená veličina mechanická práce je zajímavá. Její velikost totiž závisí na úhlu α, který spolu svírají dva vektory: vektor síly \(\Vec{F}\) a vektor posunutí \(\overrightarrow{AB}\).

Píšeme: \(W_F=F\cdot|\overrightarrow{AB}|\cdot\cos\alpha\).

Když se na tuto situaci podíváme detailněji (viz obrázek), zjistíme, že část výrazu

o velikosti \(F\cos\alpha\) je průmětem vektoru síly do směru posunutí.

Výsledkem je číslo (tedy skalární veličina), které vyjadřuje, jak moc se síla podílí na změně rychlosti tělesa. Výraz \(W_F=F\cdot|\overrightarrow{AB}|\cdot\cos\alpha=F\cdot\cos\alpha\cdot|\overrightarrow{AB}|=F_\parallel\cdot|\overrightarrow{AB}|\) tak můžeme také chápat jako součin průmětu síly do směru posunutí.

Právě tato vlastnost je v matematice popsána skalárním součinem dvou vektorů. Proto můžeme práci definovat jako skalární součin vektoru síly \(\Vec{F}\) a vektoru posunutí \(\overrightarrow{AB}\): \(W_F=\Vec{F}\cdot\overrightarrow{AB}\).

Skalární součin může být kladný, nulový nebo dokonce záporný, jak jsme viděli v obrázku 6.8. Teď již víme, že síla působí svým průmětem ve směru pohybu tělesa nebo proti jeho pohybu, tudíž ho urychluje, nebo naopak jeho rychlost snižuje.

V případě síly kolmé na posunutí síla pouze zakřivuje trajektorii jeho pohybu.

Kontrolní otázka

Vypočítejte práci vykonanou člověkem při zvedání knihy ze stolu ve výšce 0,8 m na polici ve výšce 1,7 m. Hmotnost knihy je 0,2 kg.

1,8 J
1,7 J
18 J
3,3 J
1,6 J

Odeslat  

Příklad 1

Mirek posunul rovnoměrným pohybem křeslo o hmotnosti 16 kg po podlaze o 3 m. Koeficient tření mezi křeslem a podlahou je 0,25. Vypočítejte práci každé ze sil, které působily na křeslo.

Řešení:

\(W_\mathrm{N}=F_\mathrm{N}s\cos(90^\circ)=0\ \mathrm{J}\), protože \(\cos(90^\circ)=0\).

\(W_\mathrm{G}=F_\mathrm{G}s\cos(90^\circ)=0\ \mathrm{J}\), protože opět \(\cos(90^\circ)=0\).

Těleso se stále dotýká podložky, ve svislém směru se nepohybuje čili podle zákona setrvačnosti se musí vyrušit síla gravitační s tlakovou silou podložky, \(F_\mathrm{N}=F_\mathrm{G}=m\cdot g=160\ \mathrm{N}\).

Velikost třecí síly určíme ze vztahu \(F_\mathrm{t}=fF_\mathrm{N}=0{,}25\cdot160\ \mathrm{N}=40\ \mathrm{N}\). A protože jde o pohyb rovnoměrný, velikost třecí síly \(F_\mathrm{t}\) je rovna velikosti tlakové síly \(F_\mathrm{T}\). Velikosti prací těchto sil pak závisí ještě na úhlu, který spolu působící síla a směr pohybu svírají.

\[W_\mathrm{t} = F_\mathrm{t}s\cos(180^\circ) =\, 40\cdot3\cdot(-1)\ \mathrm{J} = -120\ \mathrm{J}\] \[W_\mathrm{T} = F_\mathrm{T}s\cos(0^\circ) =\, 40\cdot3\cdot1\ \mathrm{J} = 120\ \mathrm{J}\]

Příklad 2

Tatínek jde spolu s malým Martinem sáňkovat. Martin má hmotnost 16 kg a táhne sáňky o hmotnosti 4 kg na provazu, jehož směr je rovnoběžný se zasněženou loukou. Koeficient tření mezi saněmi a sněhem je 0,1.

1. Vypočítejte, jakou práci Martin vykoná při tažení saní na louce dlouhé 80 m.
2. Vypočítejte, jak velkou práci vykoná na stejné dráze Martinův tatínek, který je vyšší, táhne silou 4,3 N a provaz saní svírá se směrem pohybu úhel 30°.
3. Jakou práci vykoná tatínek, když tentokrát vezme saně na ramena a vůbec je netáhne?

Řešení:

1. Velikost tahové síly odpovídá (1. Newtonův zákon) velikosti třecí síly mezi saněmi a sněhem. \(F_\mathrm{tah} = F_\mathrm{t} = fF_\mathrm{N} = fmg = 0{,}1\cdot4\cdot9,8\ \mathrm{N} = 3{,}9\ \mathrm{N}\). Pro práci vykonanou tahovou silou platí: \(W_\mathrm{tah} = F_\mathrm{tah}s = 3{,}9\cdot80\ \mathrm{J} = 312\ \mathrm{J}\).
2. Práci, kterou vykoná tatínek, vyjádříme vztahem \(W_\mathrm{tat} = F_\mathrm{tat}s\cos(30^\circ)\). Po dosazení: \(W_\mathrm{tat}=4{,}3\cdot80\cdot30^\circ\ \mathrm{J}=297\ \mathrm{J}\). Tatínek vykoná menší práci, protože při tažení saní pod úhlem α je trochu nadzvedává, a saně jsou tedy brzděny menší třecí silou, kterou musíme překonávat.
3. Jestliže tatínek vezme saně na ramena, působí na ně silou, která je kolmá ke směru pohybu, a z našeho pohledu tedy práci nekoná. Chceme-li vysvětlit, proč je potom unavený, musíme si uvědomit, že člověk se při chůzi mírně pohupuje. Jeho těžiště se peridodicky zvedá a zase klesá o přibližně 5 cm. Síla, kterou tatínek drží saně na rameni, tedy také koná práci, a dokonce opakovaně. Další faktor, který bychom měli započítat, je také únava svalů. Svalová vlákna, držíme-li nějaký předmět, jsou napnuta, ale po určité době je musíme uvolnit, abychom je mohli znovu použít. Únava svalů tedy pramení také z tohoto mikroskopického zapínání svalových vláken. Ani tato mikroskopická práce není v našem fyzikálním vzorci započtena.

Příklad 3

Osobní automobil o hmotnosti 1100 kg sjel bez brzdění z kopce dolů úsek silnice o délce 200 m (viz obrázek). Proti jeho pohybu působila průměrná odporová síla 300 N. Vypočítejte práci každé ze sil, které na něj působily.

Řešení:
\(W_\mathrm{G}=F_\mathrm{G}s\cos(90^\circ-\alpha)=570\ \mathrm{kJ}\), \(W_\mathrm{N}=0\), protože vektor síly je kolmý na směr posunutí, \(W_\mathrm{odp}=F_\mathrm{odp}s\cos(180^\circ)=-F_\mathrm{odp}s = -60\,000\ \mathrm{J}=-60\ \mathrm{kJ}\).

Doposud jsme v našich úvahách počítali pouze se silami, které působí různými směry, ale mají stále stejnou velikost. Dokážeme spočítat práci i v případě, že se velikost síly mění?

Ano, a není to nijak složité. Jestliže se velikost síly nijak nemění, je práce vykonaná silou na tělese rovna \(W=Fs\), což v grafu \(F=f(s)\) odpovídá obsahu vyznačeného obdélníku.

Předpokládejme nyní, že se velikost působící síly jednou změní. V první části působení (0 až \(x_1\)) má síla velikost \(F_1\), v druhé části působení (\(x_1\) až \(x_2\)) má síla velikost \(F_2\). V obrázku vidíme, že celková vykonaná práce je rovna součtu obsahů jednotlivých obdélníků.

Pokud bude takových úseků více, vždy sečteme práce vykonané na jednotlivých úsecích. V případě spojitě se měnící síly mezi polohami \(x_1\) a \(x_2\) je velikost práce vykonané silou rovna obsahu plochy ohraničené polohami \(x_1\) a \(x_2\), křivkou a osou x. Podobnou úvahu jsme již využili v kapitole 3., kde jsme jako plochu pod grafem rychlosti v závislosti na čase získali uraženou vzdálenost.

Výkon a účinnost

Výkon

Fyzikální veličina práce závisí jen na síle a posunutí. Něco se někam posunulo a odvedla se nějaká práce. V běžném životě také měříme množství práce (vykopání brambor, posečení louky apod.), zajímavé však je také, za jak dlouho byla daná práce vykonána. Když posečete stejnou louku do oběda, váš výkon bude jistě vyšší, než když na ní budete pracovat ještě v půli odpoledne.

Ve fyzice je tomu stejně. Rychlost konání práce popisuje veličina zvaná výkon. Definujeme ho jako podíl práce W a odpovídajícího času t.

Jeho jednotkou je J/s = W (watt).

Tabulka výkonů (maximální výkony):

Další zajímavé hodnoty výkonů naleznete na: http://www.komplexnizdravi.cz/pohyb/energeticky-vydej-cloveka-pri-sportu-a-praci/

U automobilů se často setkáme také se starší jednotkou výkonu koňskou silou (horse power):

1 hp (koňská síla) = 746 W

O historii této jednotky, odvozené od výkonu koně, se dočtete v následující poznámce.

Poznámka na okraj: Koňská síla

Dříve používaná jednotka výkonu koňská síla byla zavedena Jamesem Wattem. Vznikla z potřeby porovnat výkon nově vzniklého parního stroje s něčím, co existovalo předtím. A z hlediska výkonu to byli právě koně. Měl-li si investor do parního stroje představit, jak výkonný bude jeho nový pohon, mohl to porovnat právě s doposud používanými koňmi. Jedna koňská síla odpovídá podle Watta výkonu koně, který dlouhodobě chodí v žentouru rychlostí 1 m/s a zvedá přitom náklad o hmotnosti cca 80 kg. Můžete si sami ověřit, zda tato definice odpovídá uvedenému vztahu.

Nakonec několik hodnot výkonů automobilových motorů:

automobil	výkon (kW)	výkon (hp)
Trabant 601	19	26
Škoda Octavia 1,6 TDI	85	115
Bugatti Veyron	882	1200
Tesla model S P100D	568	762

Příklad 1

Jaký je výkon vítěze Běhu do schodů (AZ Tower Brno), jestliže zvládl 631 schodů, každý vysoký 15 cm, za 2 min 53 s?

Řešení:
Výsledek: 429 W; při normální chůzi do schodů máme výkon asi 150 W, špičkově dokáže člověk vyvinout až výkon kolem 1 500 W – například atlet při startu běhu na 100 m nebo při sprintu v cyklistice.

Uvažujeme-li nyní automobil jedoucí konstantní rychlostí, musí motor automobilu vyvinout sílu, která vyrovná účinek tření a odporu vzduchu. Jestliže automobil urazí vzdálenost s, motor vykoná práci W a pro jeho výkon platí:

protože vzdálenost uražená za čas odpovídá velikosti jeho rychlosti \(v=s/t\).

Poznámka na okraj: Okamžitý výkon

Pokud je rychlost tělesa v každém okamžiku jiná, výkon je nazýván okamžitý a jeho velikost vypočítáme podle vztahu:

\[P=\frac{\mathrm{d}W}{\mathrm{d}t}=Fv\]

Říkáme, že okamžitý výkon je derivací práce podle času.

Příklad 2

Automobil o hmotnosti 1 500 kg jede konstantní rychlostí do kopce se sklonem 5,0° vzhledem k vodorovné rovině. Při výkonu 56 hp (42 kW) působí motor auta silou o velikosti 1500 N. Jaká je jeho rychlost?

Řešení:

\(P=Fv\), odtud \(v=P/F=42\,000/1500\ \mathrm{m/s}=28\ \mathrm{m/s}=101\ \mathrm{km/h}\).

Všimněte si, že síla motoru je větší než průmět tíhové síly do nakloněné roviny \(mg\sin\alpha\). Motor musí překonávat také odporové síly.

Účinnost

S výkonem úzce souvisí i veličina příkon. Jestliže výkon je množství práce nebo energie vykonané za čas, příkon je roven množství práce nebo energie spotřebované za stejný čas.

V tomto schématu vidíme, že když nějaký systém přijímá energii a přeměňuje ji na jiné formy energie, celkové množství energie zůstává konstantní. Sledujeme-li, jaké množství energie bylo změněno na jinou formu, zavádíme veličinu účinnost \(\eta\) (éta). Je definována podílem:

Účinnost je bezrozměrná veličina (podíl dvou energií nebo výkonů), vyjadřujeme ji číslem mezi 0 a 1, neboť užitečná energie je menší než spotřebovaná energie, a to o ztráty. Na následující galerii si můžete prohlédnout energetické schéma žárovky, vysavače a spalovacího motoru.

Příklad 3

V obchodě s elektrospotřebiči jsou vystaveny dva vysavače o stejné ceně: první má příkon 750 W a účinnost 22 %, druhý má příkon 700 W a účinnost 27 % . Který z nich dává větší sací výkon?

Řešení:
\[\eta=\frac{\hbox{sací výkon}}{\hbox{příkon}}\]

odtud pak dostáváme pro první vysavač:

\[\hbox{sací výkon}=\eta\cdot\hbox{příkon}=0{,}22\cdot750\ \mathrm{W}=162\ \mathrm{W}\]

a pro druhý vysavač:

\[\hbox{sací výkon}=\eta\cdot\hbox{příkon}=0{,}27\cdot700\ \mathrm{W}=186\ \mathrm{W}\]

Větší výkon má druhý vysavač.

Kinetická energie a její souvislost s prací

Kinetická energie je druh energie, který souvisí s pohybovým stavem tělesa. Říkáme, že těleso, které se pohybuje rychlostí v, má kinetickou energii, a naopak těleso, které je v klidu, ji nemá. Jednoduchým způsobem můžeme přijít na to, jak ji vyjádřit.

Uvažujme těleso zanedbatelných rozměrů, které je v klidu v bodě A (\(v_A=0\)). Účinkem výsledné konstantní síly \(\Vec{F}\) jej uvedeme do pohybu a v bodě B, kdy již urazí vzdálenost s, získá rychlost \(v_B\).

Síla F vykonala práci \(W_F=Fs\). Výsledná síla je přímo úměrná zrychlení tělesa \(F=ma\), pohyb je rovnoměrně zrychlený – tedy \(s=\frac{1}{2}at^2\). Po dosazení

Protože rychlost pohybu rovnoměrně zrychleného bez počáteční rychlosti můžeme vyjádřit vztahem \(v=at\), lze napsat výsledný vztah pro vykonanou práci ve tvaru \(W_F=\frac{1}{2}mv_B^2\). Pravá strana tohoto vztahu závisí na druhé mocnině rychlosti a umožňuje nám definovat kinetickou energii hmotného bodu:

Příklad 1

Vypočítejte kinetickou energii následujících hmotných bodů a těles. Předpokládejte, že kinetická energie tělesa se počítá stejně jako kinetická energie hmotného bodu.

1. cyklista o hmotnosti 70 kg spurtující rychlostí 65 km/h;
2. kulka o hmotnosti 8 g vystřelená ze samopalu rychlostí 705 m/s;
3. meteoroid o hmotnosti 200 000 tun vstupující do atmosféry rychlostí 50 000 km/h.

Řešení:

1. 11,4 kJ
2. 2 kJ
3. 1,9 ⋅ 10¹⁶ J

Vztah mezi prací a kinetickou energií

Předchozí odvození můžeme trochu zobecnit. Mezi prací vykonanou výslednou silou a změnou kinetické energie je úzký vztah:

Na levé straně rovnice máme práci v joulech, na pravé straně rovnice kinetickou energii rovněž v joulech. Práce a kinetická energie spolu tedy úzce souvisí, mají dokonce stejnou jednotku. Obě jsou skalární veličiny.

Tento vztah nám ukazuje důležitou souvislost mezi konáním práce a změnou energie. Konání práce je totiž jedním ze způsobů přenosu energie mezi dvěma tělesy nebo systémy.

Poznámka na okraj: Odvození vztahu

Představte si, že upustíte jablko. Jestliže jablko padá, jeho kinetická energie roste, a tíhová síla koná kladnou práci. Když jablko vyhodíte vzhůru, tíhová síla bude konat zápornou práci, a my budeme pozorovat, že jablko zpomaluje. Když tuto situaci zobecníme, můžeme říci, že kdykoliv je výsledná práce sil na těleso kladná, jeho rychlost roste. Naopak když je celková práce sil na těleso záporná, jeho rychlost klesá. Zkusme odvodit přesnou formulaci vztahu mezi prací a energií.

Uvažujme jablko o hmotnosti m padající ve vzduchu. Na jablko působí několik sil, ale my budeme uvažovat pouze tu největší z nich – tíhovou sílu \(\Vec{F}_\mathrm{G}\). Tato výsledná síla uděluje jablku konstantní zrychlení o velikosti \(a=g\) (tíhové zrychlení). Protože síla směřuje dolů a současně se jablko pohybuje také dolů, práce je kladná.

Uvažujeme-li počáteční rychlost jablka o velikosti v₁ a poté, co jablko urazilo vzdálenost d, je jeho rychlost v₂, můžeme na základě kinematiky rovnoměrně zrychleného pohybu sestavit dvě rovnice:

\[ \begin{aligned} d &= v_1t + \frac{1}{2}at^2\\ v_2 &= v_1 + at \end{aligned} \]

Když z první rovnice vyjádříme čas t a dosadíme do druhé, získáme: \(v_2^2=v_1^2+2ad\).

Odtud pak vyjádříme:

\[2ad=v_2^2-v_1^2\]

A protože zrychlení je podíl výsledné síly a hmotnosti, můžeme tento vztah přepsat jako:

\[2\frac{F}{m}d=v_2^2-v_1^2\]

Vynásobíme-li rovnici hmotností m a vydělíme-li ji 2, dostaneme:

\[Fd=\frac{1}{2}mv_2^2-\frac{1}{2}mv_1^2\]

Zde již vidíme práci vykonanou výslednou silou \(W=Fd\) a změnu kinetické energie mezi počátečním a koncovým okamžikem

\[\Delta E_\mathrm{k}=E_\mathrm{k2}-E_\mathrm{k1}=\frac{1}{2}mv_2^2-\frac{1}{2}mv_1^2\]

neboť vztah pro výpočet velikosti kinetické energie tělesa v posuvném pohybu je \(E_\mathrm{k}=\frac{1}{2}mv^2\).

Potvrzujeme tedy vztah \(W=\Delta E_\mathrm{k}=\frac{1}{2}mv_2^2-\frac{1}{2}mv_1^2\).

Příklad 2

Jak velkou práci vykoná atlet o hmotnosti 74 kg, jestliže se rozběhne z klidu na 7,2 m/s?

Řešení:

Podle vztahu mezi prací a kinetickou energií můžeme psát:

\[W_F=\Delta E_\mathrm{k}=\frac{1}{2}mv_2^2-\frac{1}{2}mv_1^2=\frac{1}{2}mv_2^2=\frac{1}{2}\cdot74\ \mathrm{kg}\cdot(7{,}2\ \mathrm{m/s})^2=1{,}9\ \mathrm{kJ}\]

Vykonaná práce je minimálně 1,9 kJ, neboť při každém kroku se též těžiště člověka zvedne a poté zase klesne o několik centimetrů,, k čemuž je potřeba konat práci navíc.

Jak určit práci v případě několika působících sil?

Jestliže na těleso působí více než jedna síla, celková práce je rovna součtu prací vykonaných jednotlivými silami samostatně. Jestliže tedy síla \(\Vec{F}_1\) koná práci \(W_1\), síla \(\Vec{F}_2\) koná práci \(W_2\) atd., pak můžeme pro celkovou práci zapsat:

Celkovou vykonanou práci také můžeme vypočítat tak, že vypočítáme práci vykonanou výslednou silou \(W_\mathrm{celkem}=Fs\cos\alpha\), kde F značí výslednici všech působících sil.

Poznámka na okraj: Odvození vztahu

Síla \(\Vec{F}\) je totiž výslednicí všech sil působících na těleso a úhel α je velikost úhlu mezi posunutím a výslednou silou.

\[W_\mathrm{celkem}=\sum_{i=1}^n W_i=\sum_{i=1}^n\Vec{F}_i\cdot\Vec{s}=\Vec{s}\cdot\sum_{i=1}^n\Vec{F}_i=\Vec{s}\cdot\Vec{F}=Fs\cos\alpha\]

Příklad 3

Zkouška brzd osobního automobilu o hmotnosti 1 500 kg probíhá na vodorovném úseku zkušebního polygonu. Na úseku o délce 35 m se změní rychlost automobilu z původních 108 km/h na konečných 90 km/h.

1. Nakreslete schéma situace včetně všech sil působících na automobil. Brzdnou sílu a odporové síly předpokládejme konstantní a zakresleme je jako jednu sílu.
2. Vypočítejte velikost brzdné síly působící na automobil pomocí prací a energií.

Řešení:

a) Schéma:

b) Použijeme vztah ukazující na souvislost mezi prací a změnou kinetické energie:

\[ \begin{aligned} \sum W_F &= \Delta E_\mathrm{k}\\ W_\mathrm{G} + W_\mathrm{N} + W_\mathrm{b} &= \frac{1}{2}mv_B^2 - \frac{1}{2}mv_A^2\\ 0+0-F_\mathrm{b}d &= \frac{1}{2}m(v_B^2-v_A^2)\\ F_\mathrm{b} &= \frac{m(v_A^2-v_B^2)}{2d} = \frac{1500\cdot(30^2-25^2)}{2\cdot35}\ \mathrm{N}=5{,}1\ \mathrm{kN} \end{aligned} \]

Potenciální energie

Co je to potenciální energie? Jaké má formy? Kde se s ní setkáme? Opět si tento pojem vysvětleme na příkladu s konáním práce. Víme, že mechanická síla může konat práci, a tím může například zvětšit kinetickou energii tělesa. Při působení více sil se ale stává, že určitá síla koná kladnou práci, aniž by se zvětšovala kinetická energie tělesa. Pojďme se na tyto příklady podívat podrobněji…

Nejprve si představme situaci, ke které dochází při střelbě z luku. Při napínání luku vykoná síla ruky docela velkou práci, luk se napne, ale zůstává v klidu. Vykonaná práce však zůstala „uložena“ v novém uspořádání luku (je napnutý). Tuto situaci můžeme popsat tak, že se zvedla potenciální energie pružnosti luku. Při výstřelu pak můžeme tuto energii použít k urychlení šípu. Stejným způsobem, tedy pomocí deformace pružiny, uvolňujeme energii při výstřelu.

V druhém příkladu si zkusme představit knihu, kterou bereme ze stolu a ukládáme ji do knihovny. Na začátku i na konci pohybu je kniha v klidu (žádná pohybová energie), přesto jsme vykonali určitou práci při jejím zvedání do police v knihovně. Můžeme říci, že jsme vykonanou práci „uložili“ do potenciální energie v tíhovém poli. Když bude kniha padat na zem, tato energie se postupně přemění na kinetickou energii.

Další příklady, kdy se energie ukládá ve formě potenciální energie, si ukažme v následující galerii.

Pojďme si dvě základní situace popsat detailněji.

Potenciální energie pružnosti

Vezměme pružinu o délce \(l_0\) a zavěsme ji na háček. Když na ni budeme dále zavěšovat závaží s rostoucí hmotností, budeme na její konec působit čím dál větší silou, a pružina se bude prodlužovat. Z rovnováhy sil můžeme usoudit, že pružina působí na závaží stejně velkou silou, jakou je napínána. Tahová síla \(\Vec{F}_\mathrm{tah}\) pružiny je přímo úměrná jejímu prodloužení x: \(F_\mathrm{tah}=kx\). Zakreslíme-li tuto závislost do grafu, získáme graf přímé úměrnosti.

Protože velikost práce vykonané touto silou je rovna obsahu plochy pod grafem, vidíme, že

Potenciální energie pružnosti závisí na velikosti deformace x pružiny a na její tuhosti k neboli na tom, jak snadno nebo naopak obtížně ji lze deformovat.

Potenciální tíhová energie

Představte si, že zvedáte krabici o hmotnosti m z podlahy do výšky h (viz obrázek).

Musíte působit proti gravitaci silou o velikosti \(mg\), a na dráze \(h\) tak vykonáte práci \(W=mgh\). Dá se ukázat, že vykonaná práce závisí jen na výšce h, nikoliv na zvolené trajektorii (viz obrázek). Díky tomu můžeme definovat potenciální (polohovou) energii \(E_\mathrm{p}\) jakožto práci potřebnou ke zvednutí tělesa z vybraného místa do výšky \(h\) nad ním.

Polohová energie není určena jednoznačně, závisí na naší volbě referenčního místa (nulové výšky). Hladinu, kde bude energie nulová, si můžeme zvolit zcela libovolně. V našem příkladu jsme zvolili \(E_\mathrm{p}=0\) na podlaze (bod A).

Příklad 1

Bednu o hmotnosti 15 kg jsme ze země zvedli do police ve výšce 1,2 m. Vypočítejte vykonanou práci, pokud pohyb probíhal:

1. nejdříve 1,2 m svisle a potom 1 m vodorovně (trajektorie ABC),
2. po nejkratší spojnici z A do C.

Řešení:

1. \(W_{ABC}=W_{AB}+W_{BC}=mgh_{AB}+0=mgh_{AB}=176\ \mathrm{J}\)
2. \(W_{AC}=F\cdot|AC|\cdot\cos\alpha=F\cdot|AB|=mgh_{AB}=176\ \mathrm{J}\)

Velikost vykonané práce při zvedání bedny v tíhovém poli země nezávisí na tvaru trajektorie a má vždy stejnou velikost.

Jestliže nyní krabici upustíte, bude naopak tíhová síla konat práci a urychlovat krabici směrem k zemi. Vykonanou práci jsme si tedy „uložili“ pomocí potenciální energie v tíhovém poli. Jestli jezdíte rádi na kole, je vám jasné, jakou práci vykonáte, když stoupáte do kopce, a část této „uložené“ energie pak získáte při sjezdu zpět.

Konzervativní a nekonzervativní síly

Viděli jsme tedy, že vykonanou práci můžeme uložit do různých forem potenciální energie a poté si ji vyzvednout ve formě jiné energie. Ne vždy to však je možné.

Tuto úvahu nemůžeme provést pro jakoukoliv sílu. Například když posunujeme naši bednu po vodorovné podlaze z A do B (viz obrázek 6.26), musíme překonávat třecí sílu. Čím bude trajektorie delší, tím větší práci budeme muset vykonat. Vidíme, že práce při posunutí z bodu A do B nyní závisí na zvolené trajektorii. Proto neexistuje potenciální energie třecí síly. A pokud bednu vrátíme zpět do bodu A, vykonaná práce se nám nevrátí tak, jako se to stane v tíhovém poli Země.

Když přestaneme na bednu tlačit, zastaví se. Vykonanou práci nelze přeměnit na kinetickou energii, protože již byla přeměněna na jiné formy energie – došlo k zahřátí podlahy i samotné bedny.

Podle uvedeného principu můžeme rozlišit tzv. konzervativní a nekonzervativní síly. Konzervativní síly nám umožní energii „uschovat“, zatímco při práci nekonzervativních sil se vždy nějaká část energie mění na jiné druhy energie, například teplo.

Zapišme to přehledně do tabulky:

Poznámka na okraj: Konzervativní a nekonzervativní síly

Velmi dobře je rozdíl mezi konzervativní a nekonzervativní silou vidět, jestliže porovnáme posunování předmětu po uzavřené křivce. Vezměme například práci vykonanou tíhovou silou při přesouvání krabice po křivce dle následujícího obrázku.

Při vodorovném přenášení krabice z bodu A do bodu B je práce vykonaná tíhovou silou nulová \(W_{AB}=0\), protože vektor síly je kolmý k posunutí. Stejně tak mezi body C a D \(W_{CD}=0\). Od bodu B do bodu C krabici zvedáme, tudíž konáme práci my a práce vykonaná tíhovou silou je záporná \(W_{BC}=-mgh\). Naopak mezi body D a A je tato práce kladná, protože tíhová síla působí ve směru posunutí \(W_{DA}=mgh\). Celková práce vykonaná tíhovou silou na této uzavřené dráze je pak rovna součtu:

\[W_\mathrm{G}=W_{AB}+W_{BC}+W_{CD}+W_{DA}=0-mgh+0+mgh=0\]

Jakmile ale budeme posunovat krabici po podlaze (viz obrázek), situace je zcela jiná. Třecí síla vykonává v každém jednotlivém úseku zápornou práci o velikosti \(W_\mathrm{t}=-fmgd\). Celkově pak na uzavřené dráze dostáváme.

\[W_\mathrm{t}=W_{AB}+W_{BC}+W_{CD}+W_{DA}=\] \[-fmgd+(-fmgd)+(-fmgd)+(-fmgd)=\] \[-4fgmd\]

Příklad 2

Vysvětlete princip přečerpávací vodní elektrárny.

Řešení:

Přečerpávací vodní elektrárny představují jediný technicky známý způsob uskladnění vyrobené elektrické energie prostřednictvím potenciální energie vody. Jejich charakteristickým rysem jsou dvě zásobní nádrže – dolní a horní spojené tlakovými přivaděči. Soustrojí elektrárny je tvořeno čerpadlem, vodní turbínou a elektrickým motorgenerátorem na společném hřídeli. V čase nízkého zatížení a nadbytku elektřiny v soustavě odebírá soustrojí elektřinu, a přečerpává vodu z dolní do horní zásobní nádrže. V čase výkonnostní špičky, když je energie v síti nedostatek, tato voda pohání turbínu s generátorem a vrací naakumulovanou energii do rozvodné sítě. Na 1 kW vyrobené elektrické energie spotřebuje elektrárna v čerpadlovém provozu mimo špičku přibližně 1,3 kW.

Velikou výhodou přečerpávacích elektráren je jejich schopnost přecházet z režimu čerpání do režimu výroby elektrické energie a naopak v řádu několika minut, a tak dynamicky reagovat na aktuální zátěž energetické sítě.

Zdroj: obrázek http://edu.techmania.cz/cs/veda-v-pozadi/663, text: Obnovitelné zdroje energie (Simopt).

Zákon zachování energie

Když studujeme pohyb nějakého tělesa v blízkosti země (tíhová síla je síla konzervativní), všimneme si, že polohová energie a kinetická energie na sobě nejsou nezávislé. Při volném pádu klesá polohová energie a roste kinetická energie. Po odpalu baseballového míčku naopak klesá kinetická energie a roste polohová energie tělesa. Jejich součet \(E_\mathrm{m}=E_\mathrm{p}+E_\mathrm{k}\), zvaný mechanická energie, však zůstává po celou dobu pohybu konstantní; za podmínky, že na těleso působí pouze konzervativní síly. Tento princip vyjadřuje zákon zachování mechanické energie.

Pomocí tohoto zákona můžeme mnohem snadněji řešit mnoho úkolů, které by při použití Newtonových zákonů byly matematicky podstatně složitější. Nemusíme se zabývat tím, jak se těleso dostalo do konečné polohy, stačí porovnat výchozí a konečný stav z hlediska energií. Pojďme si to ukázat na několika příkladech.

Příklad 1

1. S jakou rychlostí dopadne na zem pétanquová koule mající hmotnost 760 g, jestliže hráči upadne z ruky, kterou má volně podél těla (počáteční výška koule je 85 cm)?
2. S jakou rychlostí dopadne stejná pétanquová koule, jestliže je vržena hráčem z výšky 1,10 m nad zemí a na začátku pohybu má rychlost 6,3 m/s (viz obrázek)?

Řešení:

a) Podle zákona zachování mechanické energie je součet polohové a kinetické energie konstantní. Koule, kterou hráč drží v ruce (výška 85 cm nad zemí), má tedy tyto energie:

\[ \begin{aligned} E_{\mathrm{p}A} &= mgh = 0{,}760\cdot9{,}81\cdot0{,}85\ \mathrm{J}=6{,}3\ \mathrm{J}\\ E_{\mathrm{k}A} &= \frac{1}{2}mv_A^2 = 0\ \mathrm{J} \end{aligned} \]

Toto celkové množství mechanické energie 6,3 J se zachovává a v okamžiku dopadu koule na zem má koule tyto energie: \(E_{\mathrm{p}B}=0\ \mathrm{J}\) a \(E_{\mathrm{k}B}=\frac{1}{2}mv_B^2=6{,}3\ \mathrm{J}\). Polohová energie \(E_\mathrm{p}\) se přeměnila na kinetickou \(E_\mathrm{k}\), ale jejich součet zůstal zachován. Píšeme tedy:

\[ \begin{aligned} E_{\mathrm{m}A} &= E_{\mathrm{m}B}\\ mgh+0 &= 0+\frac{1}{2}mv_B^2 \end{aligned} \]

Pro rychlost dopadu koule pak můžeme vyjádřit \(v_B=\sqrt{2gh}=4{,}1\ \mathrm{m/s}\).

b) V případě, že je koule vržena určitou rychlostí šikmo vzhůru, postupujeme stejným způsobem. Celková mechanická energie na začátku vrhu je rovna celkové mechanické energii koule při dopadu na zem.

\[ \begin{aligned} E_{\mathrm{m}A} &= E_{\mathrm{m}B}\\ mgh+\frac{1}{2}mv_A^2 &= 0+\frac{1}{2}mv_B^2 \end{aligned} \]

Pro velikost rychlosti dopadu koule pak platí: \(v_B=\sqrt{2gh+v_A^2}=\sqrt{2\cdot9{,}81\cdot1{,}1+6{,}3^2}\ \mathrm{m/s}=7{,}8\ \mathrm{m/s}\).

Příklad 2

Určete výšku, do které vystoupá míč vyhozený svisle vzhůru rychlostí o velikosti 12,5 m/s. Tření vzduchu neuvažujte.

Řešení:

Opět vyjdeme ze zákona zachování energie. Mechanická energie je v počátečním bodě A a v koncovém bodě B stejná. Výchozí bod A volíme jako místo s nulovou polohovou energií \(E_\mathrm{p}=0\). Naopak v nejvyšším bodě B se míč zastaví, jeho kinetická energie bude nulová a poté začne padat dolů. Vyjádříme je takto:

\[ \begin{aligned} E_{\mathrm{m}A} &= E_{\mathrm{m}B}\\ \frac{1}{2}mv_A^2 &= 0+mgh \end{aligned} \]

Pro maximální výšku vyhozeného míče pak můžeme vyjádřit:

\[h=\frac{v_A^2}{2g}=\frac{12{,}5^2}{2\cdot9{,}81}\ \mathrm{m} = 8{,}0\ \mathrm{m}\]

Příklad 3

Snowboardista se pohybuje po vodorovné dráze rychlostí 4 m/s. Tato rychlost postačuje k tomu, aby se vyhoupl na malý kopec a zastavil se na něm (bod B, viz obrázek). Když se bude na začátku pohybovat rychlostí 5 m/s, jakou bude mít rychlost na vrcholu kopce?

Řešení:

Nejprve si vypočítáme výšku kopce, na který se snowboardista dostane při počáteční rychlosti 4 m/s. Ze zákona zachování mechanické energie vyplývá, že jeho mechanická energie v bodě A i B je stejná. Zvolme bod A jako místo s nulovou potenciální energií, a dostáváme tedy:

\[ \begin{aligned} E_{\mathrm{m}A} &= E_{\mathrm{m}B}\\ \frac{1}{2}mv_A^2 &= 0+mgh \end{aligned} \]

Pro výšku kopce h získáme:

\[h=\frac{v_A^2}{2g}=\frac{4{,}0^2}{2\cdot9{,}81}\ \mathrm{m} = 0{,}82\ \mathrm{m}\]

Jestliže při druhém pokusu jede na začátku (bod A) již rychlostí 5 m/s, bude mít tedy větší mechanickou energii a v bodě B mu bude zbývat ještě určité množství kinetické energie. Opět píšeme:

\[ \begin{aligned} E_{\mathrm{m}A} &= E_{\mathrm{m}B}\\ \frac{1}{2}mv_A^2 &= \frac{1}{2}mv_B^2+mgh \end{aligned} \]

odkud pak vyjádříme výslednou rychlost na vrcholu kopce:

\[ \begin{aligned} \frac{1}{2}v_A^2 &= \frac{1}{2}v_B^2+gh\\ v_B^2 &= v_A^2-2gh\\ v_B &= \sqrt{v_A^2-2gh} = 3{,}0\ \mathrm{m/s} \end{aligned} \]

Příklad 4

Odhadněte na základě zákona zachování mechanické energie, jak vysoko může skokan o tyči vyskočit.

Řešení:

Skokan o tyči (hmotnost \(m=75\ \mathrm{kg}\)) se nejprve rozeběhne rychlostí přibližně 10 m/s. Má tedy na začátku pouze kinetickou energii. Jeho potenciální tíhová energie je nulová, pokud si zvolíme nulovou hodnotu této energie ve výšce jeho těžiště (viz obrázek).

Kinetická energie soustavy skokan–tyč \(E_{\mathrm{k}A}\) je následně přeměněna na potenciální energii pružnosti tyče \(E_\mathrm{pe}\) (deformace tyče) a poté přeměněna na potenciální energii v tíhovém poli Země \(E_{\mathrm{p}B}\). Za předpokladu, že se mechanická energie zachovává, můžeme tedy psát:

\[ \begin{aligned} E_{\mathrm{k}A} &= E_\mathrm{pe} = E_{\mathrm{p}B}\\ \frac{1}{2}mv_A^2 &= E_\mathrm{pe} = mgh_B \end{aligned} \]

Pro maximální dosaženou výšku tedy dostáváme:

\[h_B=\frac{v_A^2}{2g}=\frac{10^2}{2\cdot9{,}81}\ \mathrm{m} = 5{,}1\ \mathrm{m}\]

A protože jeho těžiště již na začátku bylo ve výšce kolem 1,0 m nad zemí, maximální dosažená výška se tedy pohybuje kolem šesti metrů a my vidíme, že ji skokan může ovlivnit svou počáteční rychlostí.

Energie nabývají velmi různých hodnot. Dokážete vyjádřit, jak velká je jednotka 1 J? Pro lepší představu o jejich řádové velikosti se podívejte na následující tabulku.

Tabulka (přehled energií):

Práce vykonaná nekonzervativní silou. Změna mechanické energie

Síly, které nejsou konzervativní, mění množství mechanické energie soustavy. Mohou způsobit buď pokles mechanické energie přeměnou na teplo, nebo naopak nárůst mechanické energie tím, že přemění práci svalů na kinetickou nebo polohovou energii. Častokrát dochází k oběma dějům současně.

Poznámka na okraj: Odvození vztahu pro práci nekonzervativních sil

Vyjděme ze vztahu mezi celkovou prací všech sil a změnou kinetické energie:

\[W_F=\Delta E_\mathrm{k}\]

Celková práce je součet prací vykonaných konzervativními silami a vykonaných nekonzervativními silami.

\[W_{F\mathrm{n}}+W_{F\mathrm{k}}=\Delta E_\mathrm{k}\]

Jelikož práce vykonaná konzervativními silami je rovna záporně vzaté změně polohové energie \(W_{F\mathrm{k}}=-\Delta E_\mathrm{p}\), můžeme napsat \(W_{F\mathrm{n}}-\Delta E_\mathrm{p}=\Delta E_\mathrm{k}\) nebo také

\[W_{F\mathrm{n}}=\Delta E_\mathrm{p}+\Delta E_\mathrm{k}=\Delta E_\mathrm{m}\]

Jak uvidíte v následujících příkladech, díky uvedenému vztahu je možné řešit pomocí energie i úlohy, kde působí nekonzervativní síly a nelze přímo použít zákon zachování mechanické energie.

Příklad 5

List o hmotnosti 17,0 g se uvolnil ze stromu ve výšce 5,30 m. Před dopadem na zem měl rychlost 1,30 m/s. Vypočítejte, kolik energie se přeměnilo v průběhu pádu na teplo.

Řešení:

Musíme určit počáteční a konečnou hodnotu mechanické energie, neboť práce vykonaná nekonzervativními silami je rovna právě změně mechanické energie. Na začátku (bod A) má list nulovou rychlost, tím i nulovou kinetickou energii. Jeho potenciální energie je největší, protože je nejvýše nad zemí.

\[E_{\mathrm{k}A}=0\qquad E_{\mathrm{p}A}=mgh=0{,}017\cdot9{,}81\cdot5{,}30\ \mathrm{J}=0{,}884\ \mathrm{J}\]

Při dopadu (bod B) je kinetická energie největší a polohová nulová, protože list dopadá na zem.

\[E_{\mathrm{k}B}=\frac{1}{2}mv_B^2=\frac{1}{2}\cdot0{,}017\cdot1{,}30^2\ \mathrm{J}=0{,}014\ \mathrm{J}\qquad E_{\mathrm{p}B}=0\]

Změna mechanické energie je tedy rovna

\[\Delta E_\mathrm{m}=E_{\mathrm{m}B}-E_{\mathrm{m}A}=(0+0{,}014 + 0)-(0{,}884+0)\ \mathrm{J}=-0{,}870\ \mathrm{J}\]

Takto velká je změna mechanické energie listu a tato energie se přeměňuje na energii, která způsobí pohyb (víření) vzduchu a na vnitřní energii listu a okolního vzduchu (díky čemuž se velmi mírně zahřejí).

Příklad 6

Golfista špatně odhadne rychlost míčku (udělí mu rychlost \(v_0\)) a ten při „puttování po greenu” dospěje pouze do 1/4 potřebné vzdálenosti. Předpokládejme třecí sílu o stále stejné velikosti. Jaká měla být původní rychlost míčku vyjádřená v násobcích \(v_0\), aby dospěl až do jamky?

Řešení:

Opět musíme rozlišit počáteční a konečný stav tělesa, tedy míčku. Vypočítáme jeho mechanickou energii. Na začátku pohybu, v bodě A, má největší kinetickou energii o velikosti \(E_{\mathrm{k}A}=\frac{1}{2}mv_A^2\). Na konci, má-li míček skončit v jamce (bod B), může mít nulovou rychlost, protože už jen spadne do jamky. Změna polohové energie nás nezajímá, míček se pohybuje po vodorovném greenu.

Změna mechanické energie je rovna práci nekonzervativních sil, tedy práci třecí síly míčku o green. Můžeme psát:

\[\Delta E_\mathrm{m}=E_{\mathrm{m}B}-E_{\mathrm{m}A}=0-\frac{1}{2}mv_A^2=W_{\Vec{F}_\mathrm{t}}=-F_\mathrm{t}\cdot4d\]

Úbytek mechanické energie je tedy 4× větší než při prvním pokusu, nová rychlost tedy musí být 2× větší než původní, neboť kinetická energie je úměrná druhé mocnině rychlosti.

\[v_A=2\sqrt{\frac{2F_\mathrm{t}d}{m}}=2v_0\]

Postupem času lidé objevili další formy energie (tepelnou, elektrickou, jadernou…) a zjistili, že celkové množství energie se nemění při libovolných dějích. To vedlo k formulování jednoho z nejdůležitějších zákonů fyziky – zákona zachování celkové energie. Pokud by se vám podařilo najít děj, při kterém se energie nezachovává (tedy pouze vzniká či zaniká), pak máte dvě možnosti. Buď jste se spletli, nebo vás čeká Nobelova cena za fyziku.