Jak jednoduše popsat polohu tělesa?

Abychom mohli zkoumat pohyb, musíme umět jednoduše určovat a měřit polohu. Tělesa mohou mít složitý tvar, mohou být pružná a ohebná, třeba jako lidské tělo. Popsat přesně polohu takového tělesa je dost složité. Museli bychom ho modelovat pomocí mnoha bodů. Tak se to dělá při počítačové animaci postavy na základě snímání živého herce – tzv. motion capture (viz obrázek).

Začněme něčím jednodušším: často nás zajímá jen pohyb tělesa jako celku. Pak si můžeme dovolit těleso nahradit jen jedním bodem. To je například při sledování trasy pomocí mobilu (viz obrázek) nebo při pohybu planet kolem Slunce. Pro fyziku je důležitá ještě hmotnost, proto se tento jednoduchý model označuje jako hmotný bod. Ať je těleso sebevětší, jeho rozměry a tvar nás při tomto zjednodušení nezajímají.

Pro popis polohy bodu používáme vynález matematika a filozofa Reného Descarta – kartézské souřadnice. Jde o jednu, dvě nebo tři na sebe kolmé osy. Systém souřadnicových os ještě musíme umístit do konkrétního bodu a určit orientaci všech os. Tím definujeme vztažnou soustavu. Názorně to ukazují následující příklady:

Jednorozměrný pohyb

Jednorozměrný pohyb je takový, který je omezen na přímku nebo křivku. Představte si, že máte za úkol vymyslet systém sledování polohy výtahu. To je nutné pro jeho přesné ovládání. Jak to uděláte? Výtah se pohybuje pouze v jednom směru – po přímce. Proto nám bude stačit jen jedna souřadnice, volba nulové polohy a kladného směru osy x. Těleso kabiny nahradíme vhodně zvoleným bodem, jehož polohu budeme popisovat (viz obrázek). Pokud zadáte např. x = 6,25 m, je tím poloha výtahu zcela jednoznačně určena ve vámi zvolené vztažné soustavě. Pro lepší představu navštivte naši animaci.

Dvourozměrný pohyb

Dvourozměrný neboli dvoudimenzionální (2D) pohyb je omezen na rovinu nebo plochu. Potřebujeme-li například popsat polohu robota pohybujícího se po podlaze výrobní haly, jedná se o pohyb v rovině tvořené podlahou. K popisu polohy jsou zde potřeba dvě osy a samozřejmě také počátek soustavy souřadnic.

Trojrozměrný pohyb

Přidáním třetí souřadnice pak můžeme obdobně popsat polohu v trojrozměrném prostoru (3D). Jako praktický příklad jsme zvolili polohu letadla v prostoru (viz obrázek).

Poznámka na okraj: Sférické souřadnice

Pro určování polohy na Zemi se místo kartézských souřadnic používají souřadnice sférické. Podstatné je, že souřadnice musí být zase tři, abychom popsali polohu ve třech dimenzích. Jsou to zeměpisná šířka (úhel od –90 do 90 stupňů), zeměpisná délka (úhel od –180 do 180 stupňů) a nadmořská výška (vzdálenost). S tou je trochu problém, protože přesnější by bylo ji nahradit vzdáleností od počátku soustavy souřadnic (středu Země). V čem spočívá výhoda sférických souřadnic v tomto případě? Je možné je změřit (viz měření polohy na Zemi), protože Země má přibližně tvar koule. Navíc nám často při pohybu po zemském povrchu, tedy při dvourozměrném pohybu, stačí dvě souřadnice. To by v kartézských souřadnicích nebylo možné.

Jak můžeme zaznamenat pohyb?

Náš svět je trojrozměrný, proto často pracujeme ve třech dimenzích. My se v této kapitole zatím omezíme jen na studium jednorozměrného pohybu, který je matematicky jednodušší. K pohybu v rovině a v prostoru se vrátíme v kapitolách 14 a 15.

Z předchozí kapitoly už víme, že vzdálenost objektů je možné měřit pomocí sonaru nebo radaru. Budeme tedy sledovat pohyb autíčka na stole pomocí sonaru (viz obrázek).

Pojďme se podívat na záznam pohybu autíčka. V grafu vidíme, jak se měnila jeho poloha v čase. Každé měření polohy je zobrazeno jako jeden bod v grafu. Vzorkovací frekvence byla 7 Hz, to znamená, že jsme polohu měřili 7krát za sekundu. Osa x má počátek v místě sonaru a je orientovaná směrem k autíčku. Získali jsme graf funkce x(t) – závislost polohy x na čase t.

Příklad 1

Popište slovy, jak se podle grafu na obrázku autíčko pohybovalo, a určete z grafu o jeho pohybu co nejvíc informací.

Řešení:

Funkce jsou velmi dobrým nástrojem k popisu pohybu, proto si připomeňme jejich důležité vlastnosti.

Funkce jednoznačně přiřazuje hodnotám proměnné x hodnoty proměnné y. Můžeme ji zadat tabulkou, grafem či předpisem:

• x(t) závislost polohy (na ose x) na čase,
• y(t) závislost polohy (na ose y) na čase,
• v(t) závislost rychlosti na čase.

Měřením vždy získáme pouze soubor bodů ve formě dvojic x, y, popřípadě x, t a podobně. Ty můžeme zaznamenat do tabulky nebo grafu, kde se objeví jako jednotlivé body. Předpis funkce nebo graf ve formě spojité křivky je možné doplnit teprve po zpracování změřených dat. Tomu se budeme věnovat v závěru kapitoly.

Jak definujeme průměrnou rychlost?

K popisu pohybu hmotného bodu nám nestačí měřit jeho polohu nebo uraženou dráhu. Potřebujeme ještě zjistit, jak dlouho pohyb trval. Kombinací dráhy a času dostáváme rychlost pohybu. Nejprve si připomeňme průměrnou rychlost v_p:

Jednotkou rychlosti v soustavě SI je m ⋅ s⁻¹. Kromě toho často používáme také km/h. Platí 1 m ⋅ s⁻¹ = 3,6 km ⋅ h⁻¹, neboť: \(\displaystyle 1\ \mathrm{m}\cdot\mathrm{s}^{-1}\) \(\displaystyle = \frac{1/1000\ \mathrm{km}}{1/3600\ \mathrm{h}}\) \(\displaystyle = \frac{3600}{1000}\ \mathrm{km}\cdot\mathrm{h}^{-1}\) \(\displaystyle = 3{,}6\ \mathrm{km}\cdot\mathrm{h}^{-1}\)

V praxi se občas potkáte i s jinými jednotkami rychlosti:

mph = 0,44704 m/s – mile per hour (míle za hodinu), používá se v USA

uzel = 0,51444 m/s – anglicky knot = námořní míle za hodinu, používá se v letectví a mořeplavbě

Kontrolní otázka

Určete průměrné rychlosti v m/s:

1) Petr jel na kole 0,5 hodiny a urazil 18 km.

2) Jana uběhla kilometr za 8 minut 20 sekund.

Odeslat

Kontrolní otázka

1) Za jak dlouho uběhne Tomáš 6 km, běží-li celou dobu rychlostí 8 km/h? Napište výsledek v hodinách.

2) Za jak dlouho urazí auto, jedoucí po dálnici rychlostí 90 km/h, vzdálenost 25 m? Napište výsledek v sekundách.

Odeslat

Kontrolní otázka

1) Jakou vzdálenost urazí turista za 2,5 hodiny, jde-li rychlostí 5 km/h? Napište výsledek v km.

2) Jakou vzdálenost urazí světlo ve vakuu za 0,1 sekundy? Napište výsledek v km.

Odeslat

V následujících úlohách si ukážeme, že průměrná rychlost není průměr rychlostí. Je to vždy celková dráha za celkový čas.

Příklad 1

Cyklista jede 10 km rychlostí 10 km/h a poté dalších 10 km rychlostí 30 km/h. Jaká je jeho průměrná rychlost na celém úseku?

Řešení:

1. První část: s₁ = 10 km, v₁ = 10 km/h.
2. Druhá část: s₂ = 10 km, v₂ = 30 km/h.

Průměrná rychlost je celková dráha za celkový čas. Celková dráha je \(s = s_1 + s_2 = 20\ \mathrm{km}\). Celkový čas t spočítáme jako součet časů t₁ a t₂:

\[t_1 = s_1/v_1\] \[t_2 = s_2/v_1\] \[ t = t_1 + t_2 = \] \[= s_1/v_1 + s_2/v_1 = 4/3\nobreakspace \mathrm{h} \]

Celková průměrná rychlost je pak:

\[v = s/t = 15\nobreakspace \mathrm{km/h} \]

Příklad 2

Cyklista jede 10 km z A do B rychlostí 10 km/h. Jakou rychlostí musí jet stejnou cestou zpět, aby dosáhl průměrné rychlost 20 km/h?

Řešení:
Označme vzdálenost z A do B jako s = 10 km. Průměrná rychlost je celková dráha za celkový čas: \[v = \frac{2s}{t}\] Odtud celkový čas \(t = 2s/v = 1\ \mathrm{h}\). Podívejme se teď na cestu tam: doba jízdy je \(t_1 = s/v_1 = 1\ \mathrm{h}\). To ovšem znamená, že ať pojede jakoukoliv rychlostí, tak celkové průměrné rychlosti 20 km/h už nedosáhne.

Při určování rychlosti musíme mít na paměti, že rychlost je relativní veličina – vždy záleží na volbě vztažné soustavy. Například čtenář tohoto odstavce je právě v klidu vzhledem k zemskému povrchu (nečte-li třeba ve vlaku). Přitom vůči Slunci se pohybuje rychlostí kolem 30 000 m/s.

Jak definujeme okamžitou rychlost?

Průměrná rychlost charakterizuje pohyb jako celek na určitém úseku, ale neříká vůbec nic o jednotlivých fázích pohybu. Představme si to na příkladu jízdy autem z Brna do Prahy. Délka trasy po dálnici je 210 km, doba jízdy byla 2 hodiny. Průměrná rychlost tedy vychází 105 km/h, ale o průběhu cesty nevíme nic bližšího. Přesto se řidič v libovolném okamžiku své cesty mohl podívat na tachometr a zjistit, jakou rychlostí jede „právě teď” neboli určit svoji okamžitou rychlost.

Chtěli bychom definovat veličinu, která bude charakterizovat pohyb tělesa v určitém okamžiku, a to včetně směru jeho pohybu. Jak to můžeme udělat? Může nám k tomu pomoci záznam polohy v závislosti na čase. Podívejme se detailně na rozjezd autíčka v grafu x(t):

Okamžitou rychlost určíme pomocí dvou blízkých bodů ve zvoleném místě grafu (Δt je nejmenší možné).

Symbol Δ (delta) se ve fyzice používá pro rozdíl hodnot dané veličiny (\(\Delta x=x_2-x_1\)). Okamžitá rychlost, na rozdíl od průměrné rychlosti, nese i informaci o směru pohybu. Jelikož se pohybujeme jen na jedné ose, má směr pohybu pouze dvě možnosti, které rozlišíme pomocí znaménka (viz obrázek). Indexem x u rychlosti dáváme najevo, že jde o rychlost ve směru osy x. Pokud nehrozí záměna s jinými souřadnicemi (celá tato kapitola), můžeme malé x klidně vynechávat. Definici rychlosti v prostoru najdete v kapitole 14.

Pozorný čtenář by správně namítnul, že název „okamžitá“ v naší definici rychlosti není zcela na místě, neboť definice se vztahuje k určitému časovému intervalu. Prakticky vzato můžeme zvýšením frekvence snímání sonaru časový interval Δt zkrátit. Nikdy ale nebudeme schopni změřit rychlost v jediném okamžiku. Matematici si s tímto problémem umějí poradit pomocí na první pohled velmi podivného pojmu – nekonečně malého časového intervalu dt. Tento pojem stál u zrodu celého nového oboru matematiky na konci 17. století – infinitezimálního počtu. Pro fyziku je podstatné, že něco jako okamžitá rychlost existuje – autíčko se nepohybuje „skoky“ v prostoru, ale spojitě. Uvedená definice se pojmu okamžité rychlosti může přiblížit s libovolnou přesností.

Kontrolní otázka

Kamerový systém vyfotografoval auto na začátku a na konci tunelu, časový rozdíl byl 32 s. Délka tunelu je 800 m. Vyberte všechna pravdivá tvrzení o pohybu auta, která z toho vyplývají.

Průměrná rychlost auta v tunelu byla 25 m/s.
Průměrná rychlost auta v tunelu byla 90 km/h.
Auto v tunelu určitě překročilo rychlost 80 km/h.
Pokud auto v tunelu překročilo rychlost 90 km/h, muselo se nějaký čas pohybovat i rychlostí menší.

Odeslat  

Jak definujeme zrychlení?

Okamžitá rychlost se během pohybu může měnit. Dobře je to vidět na padajícím tělese. Asi nikoho nepřekvapí, že při svém pádu zrychluje. Můžeme to ostatně změřit pomocí sonaru a míče (viz obrázek). Podívejte se na časové závislosti polohy a rychlosti míče během pádu.

Zrychlení definujeme podobně jako okamžitou rychlost, sledujeme změnu rychlosti \(\Delta v=v_2-v_1\) v časovém intervalu \(\Delta t=t_2-t_1\). V našem grafu vidíme, že rychlost rostla docela rovnoměrně – asi o 1 m/s za každou desetinu sekundy. To znamená asi o 10 m/s za jednu sekundu.

Základní jednotkou je m/s/s = m/s² = m ⋅ s⁻² (čteme „metr za sekundu na druhou“ nebo „metr sekunda na mínus druhou“).

Podobně jako u rychlosti můžeme i u zrychlení přímočarých pohybů index x v této kapitole vynechávat. Analogický je i vztah mezi průměrným a okamžitým zrychlením: v případě okamžitého zrychlení musí být Δt co nejmenší, u průměrného zrychlení označuje Δt celkovou dobu zrychlování.

Příklad 3

Zrychlení míčku je stálé: 10 m/s² směrem dolů.

1. Jaká bude jeho rychlost po uplynutí 0,2 s, pokud bude volně puštěn dolů?
2. Jaká bude jeho rychlost po uplynutí 0,2 s, pokud bude vržen dolů rychlostí 5 m/s?
3. Jaká bude jeho rychlost po uplynutí 0,2 s, pokud bude vržen vzhůru rychlostí 5 m/s?

Řešení:

Z definice zrychlení a = Δv/Δt vyplývá, že Δv = a ⋅ Δt. Změnu rychlosti tedy určíme ze zrychlení a času. Konkrétně tedy pro míček Δv = a ⋅ Δt = 2 m/s.

1. Volně puštěný míček má počáteční rychlost nulovou, proto výsledná rychlost bude v = 2 m/s.
2. Počáteční rychlost míčku směřuje dolů, stejně jako zrychlení. Proto výsledná rychlost bude v = 5 m/s + 2 m/s = 7 m/s
3. Počáteční rychlost míčku směřuje vzhůru, tedy opačně než zrychlení. Proto výsledná rychlost bude v = −5 m/s + 2 m/s = −3 m/s. Záporné znaménko nám říká, že směr rychlosti bude vzhůru, neboť osu x jsme zvolili směrem dolů (sami se můžete přesvědčit dosazením většího času za Δt, že míček se po nějaké době začne pohybovat směrem dolů a rychlost změní znaménko na kladné).

Příklad 4

U automobilů je zvykem udávat dobu t, za kterou zrychlí z 0 na 100 km/h. Určete průměrné zrychlení aut v základních jednotkách pro tyto případy:

1. Škoda Octavia 1,5 TSI: t = 8,7 s.
2. Tesla model S: t = 2,6 s.

Řešení:

Stačí dosadit do definice zrychlení a = Δv/Δt. Musíme ale použít správné jednotky: Δv = 100 km/h ≈ 28 m/s. Proto:

1. a = 3,2 m/s².
2. a = 10,7 m/s².

Příklad 5

Vlak jede rychlostí 90 km/h. Jaké musí být zrychlení vlaku, aby během 10 s zpomalil na 72 km/h?

Řešení:

Nejdřív určíme Δv = 72 km/h − 90 km/h = −18 km/h = −5 m/s. Záporné znaménko je v pořádku, říká nám, že vlak zpomaluje. Potřebné zrychlení je a = Δv/Δt = −0,5 m/s².

Poznámka na okraj: Znaménka rychlosti a zrychlení

Je přirozené si zvolit orientaci osy x ve směru pohybu. Potom okamžitá rychlost v_x je kladná a zrychlení a_x je kladné, když těleso zrychluje, a záporné, když zpomaluje. Záporné zrychlení tedy znamená zpomalování. Pokud ovšem těleso začne couvat čili pohybovat se proti směru osy x, je v_x záporné, a pokud se navíc tato rychlost v záporném směru zvětšuje, musí být při takovém zrychlování a_x záporné. Přehledně to ilustruje následující pohyb výtahu.

Jak z grafu pro rychlost určíme změnu polohy?

Graf v(t) má ještě jednu užitečnou vlastnost. Můžeme pomocí něj počítat změnu polohy tělesa nebo také uraženou dráhu.

Celková změna polohy Δx je rovna obsahu plochy pod křivkou v grafu v(t).

Poznámka na okraj: Odvození vztahu pro celkovou změnu poloh z grafu

K odvození nám pomůže další obrázek:

Prakticky si vše vyzkoušíme ve dvou úlohách:

Příklad 6

Majitel elektromobilu si dal záležet, aby jeho rozjezd probíhal plynule. Díky tomu můžete z grafu jeho rychlosti snadno určit, jakou vzdálenost ujel během prvních tří sekund od startu.

Řešení:

Uraženou dráhu určíme jako obsah plochy pod křivkou. V tomto případě jde o obsah pravoúhlého trojúhelníku: s = S = 1/2 ⋅ 20 m/s ⋅ 3 s = 30 m.

Příklad 7

Hráč baseballu vyhodil míč svisle vzhůru a poté jej zase chytil. Graf ukazuje okamžitou rychlost míče v závislosti na čase (osa x směřovala vzhůru). Z grafu určete:

1. jak vysoko míč vyletěl,
2. jakou urazil celkovou dráhu.

Řešení:

V této úloze se objevuje záporná rychlost. Už víme, že to znamená pohyb proti směru zvolené osy x. Vidíme, že míč 1,5 s letěl vzhůru a zpomaloval, pak se otočil a 1,5 s letěl zase dolů a zrychloval. Výšku výstupu míče proto spočítáme jako obsah pravoúhlého trojúhelníku: s = S = 1/2 ⋅ 15 m/s ⋅ 1,5 s = 11,25 m. Celková uražená dráha je logicky dvojnásobná, tedy 22,5 m.

Poznámka: Let směrem dolů je v grafu reprezentován shodným trojúhelníkem jako let vzhůru, pouze pod osou x. Pokud bychom jeho obsah započítali se záporným znaménkem, vyjde nám celková změna polohy Δx = 0, a to je správně – míč se vrátil zpět na původní místo. Pokud jeho plochu započítáme s kladným znaménkem, vyjde nám uražená dráha.

Jak měříme rychlost a zrychlení?

Polohu umíme měřit pomocí sonaru či radaru. Jak můžeme měřit rychlost? Použijeme definici okamžité rychlosti v = Δx/Δt a rychlost vypočítáme ze změny polohy Δx (takto funguje například tachometr nebo GPS). Rychlost je možné měřit také například pomocí Dopplerova jevu (policejní radar).

Také zrychlení můžeme vypočítat pomocí změny rychlosti Δv. Můžeme ho měřit pomocí akcelerometru. Ten funguje na základě měření síly a jeho princip je na obrázku. Při zrychleném pohybu dochází k deformaci nosníku (viz obrázek). Deformace nastává taky působením gravitace. Díky tomu můžeme měřit jak zrychlení, tak gravitační pole (akcelerometr je od sebe nedokáže odlišit). Z toho vyplývá i často používaná jednotka zrychlení g = 9,8 m/s². Pro měření zrychlení v libovolném směru je potřeba trojosý akcelerometr (viz obrázek). Ten je součástí každého chytrého telefonu jako součástka o rozměrech několika milimetrů. Díky tomu telefon pozná svoji orientaci v gravitačním poli, ale můžete s ním pomocí vhodné aplikace také měřit zrychlení při pohybu.

Jako akcelerometr funguje i lidské tělo. Nedokáže vnímat rychlost, kterou se pohybuje, ale dokáže vnímat velikost a směr zrychlení. Jednak pomocí rovnovážného ústrojí, které se nachází v uchu, a jednak pomocí deformace celého těla. Velké zrychlení si užíváme například při jízdě na horské dráze. Pokud je ale zrychlení příliš velké, nastávají problémy. Například při dopravní nehodě dojde k prudkému zpomalení auta, které nám může způsobit vážná zranění. Některé hodnoty zrychlení (v jednotkách g) uvádíme v tabulce.

Rovnoměrný a rovnoměrně zrychlený pohyb

V předchozí části jsme používali časové závislosti x(t), v(t), tedy funkce popisující časový vývoj sledovaných veličin. Teď budeme hledat předpisy pro funkce popisující některé jednoduché druhy pohybu. Proč se hledáním předpisů vůbec zabývat? Umožní nám mnohem elegantnější řešení úloh o pohybu a také lepší porozumění jednotlivým druhům pohybů. A v neposlední řadě také předvídat chování tělesa.

Jak popsat rovnoměrný pohyb?

Rovnoměrný pohyb znamená pohyb stále stejně velkou rychlostí. V případě pohybu v prostoru se může měnit směr rychlosti, například auto může zatáčet, přesto velikost rychlosti může být stálá – jde stále o rovnoměrný pohyb. To je vše, co potřebujeme vědět, zbytek si snadno odvodíme sami pomocí tohoto příkladu:

Chodec vyráží z polohy x₀ = 10 m a pohybuje se stálou rychlostí 2 m/s ve směru osy x. Nakreslete graf x(t).

Rychlost 2 m/s znamená, že po uplynutí 1 s se pohne o 2 m. Jeho poloha se tím změní z x = 10 m na x = 12 m, atd. To můžeme znázornit v grafu takto:

Tento výsledek představuje lineární funkci a můžeme ho zobecnit pro libovolný rovnoměrný pohyb.

Při rovnoměrném pohybu platí:

1. \(x(t) = vt + x_0\), kde x₀ je počáteční poloha a v je neměnná rychlost pohybu.
2. \(v(t) = v = \mathrm{konst.}\)

Všimněte si podobnosti se vzorcem s = vt, neboť dráha s je u přímočarého pohybu vzdálenost mezi počáteční a aktuální polohou (\(s = x(t) - x_0\)). Počáteční poloha hraje roli zejména při pohybu dvou a více těles, jak ukazuje následující úloha o pohybu.

Příklad 1

Zloděj v autě ujíždí z místa činu stálou rychlostí 40 m/s. V okamžiku, kdy je 1,5 km daleko, za ním vyráží z místa činu policejní auto. To se rychle rozjede a pronásleduje zloděje stálou rychlostí 45 m/s. Za jak dlouho a v jaké vzdálenosti od místa činu doženou policisté zloděje? Řešení doplňte grafem x(t).

Řešení:

Polohu obou aut můžeme popsat pomocí funkcí x(t), kdy osa x bude začínat v místě činu a čas nula bude odpovídat okamžiku, kdy z místa činu vyjelo policejní auto:

Zloděj: \(x_1(t) = v_1t+x_1\), kde v₁ = 40 m/s a x₁ = 1500 m.

Policie: \(x_2(t) = v_2t\), kde v₂ = 45 m/s.

K setkání dojde v takovém okamžiku, kdy \(x_1(t) = x_2(t)\). Proto \[ \begin{aligned} v_1t + x_1 &= v_2t\\ x_1 &= v_2t - v_1t\\ x_1 &= (v_2-v_1)t\\ t &= \frac{x_1}{v_2-v_1}\\ t &= 300\ \mathrm{s}\\ \end{aligned} \]

Pro výpočet polohy setkání můžeme zvolit jak policii, tak zloděje. Jejich polohy musí být stejné, což nám poslouží jako kontrola správnosti: \(x_2(t) = v_2t = 13\,500\ \mathrm{m}\), \(x_1(t)=v_1t+x_1=13\,500\ \mathrm{m}\).

Závěr: Policie dohoní zloděje za 300 s ve vzdálenosti 13 500 m od místa činu.

Jak popsat rovnoměrně zrychlený pohyb?

Rovnoměrně zrychlený pohyb je pohyb se stálým zrychlením. To znamená, že rychlost se mění, ale poměr Δv/Δt zůstává stále stejný. Pokud těleso zpomaluje, mluvíme o rovnoměrně zpomaleném pohybu. Názornou představu o rovnoměrně zrychleném pohybu nám dá příklad padajícího kamene.

Kámen padá se stálým zrychlením a = g = 10 m/s². Načrtněte grafy x(t), v(t) pro tento pohyb. Tip: začněte od rychlosti, polohu si nechte na konec. Začneme tedy od rychlosti. Zrychlení 10 m/s² znamená, že za 1 s se rychlost zvětší o 10 m/s, za další 1 s o dalších 10 m/s, atd. To můžeme znázornit v grafu takto:

Nyní se podíváme na polohu. Už víme, že je možné ji určit z grafu rychlosti jako obsah plochy pod křivkou. V našem případě padajícího kamene plochu spočítáme snadno jako obsah pravoúhlého trojúhelníku (viz obrázek). Například v čase t = 1s je plocha 0,5 ⋅ 1s ⋅ 10m/s = 5 m. V čase 2 s už je to 0,5 ⋅ 2s ⋅ 20m/s = 20 m, atd. Po dopočítání několika dalších hodnot vidíme, že křivka není „rovná”, možná v ní někteří poznáváte parabolu.

Právě jsme vyřešili rovnoměrně zrychlený pohyb v jeho jednoduché podobě s nulovou počáteční rychlostí a polohou. V grafech můžeme nalézt i předpisy funkcí:

Jak by se situace změnila, pokud by byl kámen vržen svisle počáteční rychlostí v₀ z počáteční polohy x₀? Ke zrychlenému pohybu se jednoduše „přičte” ještě pohyb rovnoměrný (viz obrázek),

a dostaneme obecné předpisy:

Při rovnoměrně zrychleném pohybu platí:

Pro rychlost \(\displaystyle v(t) = at + v_0\), kde v₀ je počáteční rychlost, a je neměnné zrychlení.

Pro polohu \(\displaystyle x(t) = \frac{1}{2} at^2 + v_0t + x_0\), kde x₀ je počáteční poloha, v₀ je počáteční rychlost.

Závislost polohy na čase obsahuje druhou mocninu t, takové funkci říkáme kvadratická a jejím grafem je vždy část paraboly. Můžete si sami snadno ověřit, že pokud dosadíte a = 0, dostanete funkce pro rovnoměrný pohyb. Vliv zrychlení a počáteční rychlosti na podobu grafů můžete prozkoumat v appletu a procvičit v následujících úlohách.

Příklad 2

Vlak se nachází na trati v poloze x₀ = 1 500 m a jeho rychlost je v₀ = 90 km/h ve směru osy x. V tomto místě začíná zrychlovat se zrychlením a = 2 m/s² až na rychlost 180 km/h. Načrtněte grafy x(t), v(t) pro tento pohyb. Napište také předpisy uvedených funkcí.

Řešení:

Rychlost musíme převést na m/s: v₀ = 90 km/h = 25 m/s, v₁ = 180 km/h = 50 m/s. Teď zbývá dosadit:

Poloha: \(\displaystyle x(t) = \frac{1}{2} at^2 + v_0t + x_0\) \(\displaystyle = 1t^2 + 25t + 1500\ (\mathrm{m})\)

Rychlost: \(v(t) = at + v_0 = 2t + 25\ (\mathrm{m/s})\)

Pokud se těleso pohybuje ve směru osy x, ale brzdí, jedná se o speciální případ rovnoměrně zrychleného pohybu. Platí stejné vzorce, jen zrychlení musíme opatřit záporným znaménkem.

Příklad 3

Auto jede rychlostí v₀ = 90 km/h a brzdí se zrychlením a = 2 m/s² až do zastavení. Načrtněte grafy x(t), v(t) pro tento pohyb.

Řešení:

Kontrolní otázka

Pomocí grafu pro rychlost těles 1, 2, 3 vyberte všechny správné výroky:

1 a 2 měla stejné zrychlení
1 a 3 měla stejné zrychlení
1 a 2 urazila stejnou dráhu
2 a 3 urazila stejnou dráhu
počáteční rychlost 3 byla 30 m/s
zrychlení 1 bylo 20 m/s²

Odeslat  

Kontrolní otázka

Pomocí grafu pro polohu těles 1, 2, 3 vyberte všechny správné výroky:

všechna tělesa urazila stejnou vzdálenost
všechna tělesa zrychlovala
1 zrychlovalo, 2 zpomalovalo
2 mělo největší počáteční rychlost
všechna tělesa měla stejnou průměrnou rychlost

Odeslat  

Ještě připomeňme, že složitější druhy pohybu, kdy se zrychlení mění, dokážeme také popsat, ale jen pomocí grafů. Předpisy těchto funkcí určit v tuto chvíli nedokážeme. Co se týče rovnoměrně zrychleného pohybu, zbývá nám vyřešit ještě pár důležitých příkladů. První z nich je drobnou modifikací úlohy o padajícím kameni. Pohyb zůstává stejný, mění se jen známé a neznámé veličiny.

Příklad 4

1. Kámen padá se zrychlením a = g = 10 m/s² z výšky 15 m. Za jak dlouho a jakou rychlostí dopadne?
2. Kámen padal se zrychlením a = g = 10 m/s². Bylo změřeno, že za 1,2 s dopadnul. Z jaké výšky padal?
3. Kámen volně upuštěný na neznámé planetě dopadl z výšky 10 m rychlostí 8,6 m/s. Jaké je na planetě zrychlení?

Řešení:

a) Zvolíme osu x s počátkem v původní poloze kamene (15 m nad zemí) orientovanou směrem dolů. Pro polohu kamene pak platí \(x(t) = \frac{1}{2} gt^2\). V okamžiku dopadu musí platit: \(x(t) = h = 15\ \mathrm{m}\). Proto \(h = \frac{1}{2} gt^2\), a odtud

\(\displaystyle t = \sqrt{\frac{2g}{h}}\) \(t = 1{,}73\ \mathrm{s}\).

Rychlost kamene bude: \(v(t) = gt = 17{,}3\ \mathrm{m/s}\).

b) Situace je stejná jako v předchozí variantě, změnila se pouze neznámá. Do vztahu \(h = \frac{1}{2}gt^2\) můžeme přímo dosazovat: h = 7,2 m.

c) Opět podobná situace, tentokrát neznáme zrychlení a ani čas, známe výšku h a rychlost v. Ze vzorce \(v = at\) proto musíme vyjádřit neznámou t a dosadit do druhého vztahu: \(\displaystyle h = \frac{1}{2}at^2 = \frac{1}{2}a\left(\frac{v}{a}\right)^{\!2} = \frac{1}{2}\frac{v^2}{a}\).

Teprve teď můžeme vyjádřit neznámou a: \(\displaystyle a = \frac{v^2}{2h} = 3{,}7\ \mathrm{m/s^2}\).

Příklad 5

Vypočítejte brzdnou dráhu auta, které jede rychlostí 90 km/h, za následujících podmínek: reakční doba řidiče je 0,5 s. (Reakční doba je čas od spatření překážky do sešlápnutí brzdy.) Zrychlení auta při prudkém brždění na suché silnici je 5 m/s² (předpokládáme rovnoměrně zpomalený pohyb). Sledovaný úsek silnice má délku 850 m. Doplňte také grafy v(t) a x(t).

Řešení:

Brzdná dráha se bude skládat ze dvou částí. Nejdřív auto 0,5 s jede stálou rychlostí 90 km/h = 25 m/s. Přitom urazí dráhu \(s_1 = v_1t_1 = 12{,}5\ \mathrm{m}\).

Potom auto brzdí se zrychlením 5 m/s², dokud nezastaví. Pro zrychlení platí \(a = \Delta v/\Delta t\), odtud \(\Delta t = \Delta v/a = 5\ \mathrm{s}\), označíme si tento čas jako t₂ = 5 s. Uražená dráha při zpomalování bude \(s_2 = v_1t_2 - \frac{1}{2} at^2 = 62{,}5\ \mathrm{m}\).

Celková brzdná dráha je \(s = s_1 + s_2 = 75\ \mathrm{m}\).

Nakonec tu máme opět úlohu o pohybu dvou těles, tentokrát se zpomalujícím rychlíkem. Úlohu vyřešíme pomocí kvadratické rovnice a taky pomocí počítače, který nám pomůže vykreslit grafy funkcí.

Příklad 6

Strojvůdce rychlíku jedoucího rychlostí 108 km/h spatří před sebou ve vzdálenosti 180 m nákladní vlak jedoucí stejným směrem rychlostí 32,4 km/h. Rychlík začne brzdit se zrychlením o velikosti 1,2 m/s². Dojde ke srážce?

Řešení:

Rychlík: \(x_\mathrm{R} = v_\mathrm{R}t - \frac{1}{2}at^2 \), kde v_R = 108 km/h = 30 m/s.

Nákladní vlak: \(x_\mathrm{N} = x_0 + v_\mathrm{N}t \), kde x₀ = 180 m a v_N = 32,4 km/h = 9 m/s.

Grafické řešení: Vykreslíme

x_R = 30t − 0,6t² (m)

x_N = 180 + 9t (m)

Početní řešení: x_R = x_N

30t − 0,6t² = 180 − 9t

0,6t² − 21t + 180 = 0

Rovnice má dvě řešení t₁ = 15 s, t₂ = 20 s.

Závěr: Ke srážce dojde za 15 s.