Jak je definován metr?

Zdá se vám samozřejmé, že vzdálenosti měříme v metrech nebo kilometrech? Ne vždy tomu tak bývalo. Na konci 18. století panoval v jednotkách délky chaos. Různé státy používaly své národní jednotky (u nás např. palec, pěst, stopa, loket, sáh, míle atd.). Metrická soustava se objevila poprvé v roce 1790 za Francouzské revoluce, kdy byla vědecká komise pověřena vytvořením zcela nové soustavy jednotek. Tato komise navrhla zavést také novou jednotku délky – metr. Podle ní se ona nová soustava jednotek začala nazývat metrický systém. První definice metru byla tato:

1 metr = jedna desetimilióntina zemského kvadrantu.

Důvodem této volby byla nezávislost na jednotkách vyrobených člověkem. Jak ale určit délku jednoho metru pro praktické účely? To vůbec nebylo jednoduché. Bylo potřeba změřit velikost Země s velkou přesností. Francouzi se o to pokoušeli v letech 1792–1799, kdy geodeti Delambre a Méchain měřili délku poledníku mezi Dunkerque a Barcelonou pomocí triangulace (viz další odstavec). Jejich výsledky nakonec nebyly dost přesné, a proto byli vědci nuceni definovat metr jinak – pomocí tzv. etalonu:

Tak vznikl první etalon metru. Jeho kopírováním pak vznikaly další etalony. Pomocí nich můžeme vyrábět a ověřovat všechna další měřidla používaná v praxi. Podrobněji to ukazuje obrázek.

Fyzikové ale stále toužili po univerzální definici, která nebude závislá na konkrétním předmětu. Podařilo se to až v roce 1960 pomocí světla, u kterého dokážeme velmi přesně určit jeho vlastnosti. Definice se opět změnila:

1 metr = 1 650 763,73 násobku vlnové délky světla ve vakuu, které při výboji produkují atomy kryptonu ⁸⁶Kr.

Atomy kryptonu ⁸⁶Kr jsou všechny naprosto stejné, délka jednoho metru je v nich proto „uložena“ lépe a bezpečněji než v platinové tyči. Definice se odkazuje na konkrétní přírodní jev (konkrétní barvu světla vznikající v atomu kryptonu), nikoliv na konkrétní lidský výtvor. Proto je možné při ztrátě či poškození etalonu jednotku vytvořit znovu. S rozvojem fyziky a techniky bylo potřeba měřit fyzikální veličiny stále přesněji. V roce 1983 se tak definice metru ještě jednou změnila:

1 metr = vzdálenost, kterou urazí světlo ve vakuu za 1/299 792 458 sekundy.

Tato definice se odkazuje na rychlost světla a jednotku času – sekundu. Ukázalo se totiž, že čas umíme měřit velmi přesně. Proto bylo výhodnější se při definici metru odkázat na něj. Od roku 2019 platí ještě mírně upravená definice, o níž se můžete dočíst v poznámce Současné definice jednotek SI.

Jak změříme délku v praxi

Nejjednodušším způsobem měření délky je přiložení měřidla (metru, pravítka apod.). To ale není možné v těchto případech: 1) vzdálenost je příliš velká, 2) vzdálenost je příliš malá nebo 3) požadujeme velkou přesnost.

K měření velkých vzdáleností se používá metoda triangulace, která vychází z jednoduché geometrie (viz obrázek). Změříme-li v trojúhelníku délku jedné strany a dva úhly, můžeme délky zbylých stran zjistit rýsováním (věta usu), nebo výpočtem (pomocí goniometrických funkcí nebo sinové věty). Na začátku tedy potřebujeme znát délku jedné úsečky. Dál si už vystačíme jen s měřením úhlů. Pomocí triangulace byly od 18. století zaměřovány základní body, pomocí kterých se sestavovaly a dodnes sestavují mapy.

Triangulaci je možné použít také k určování vzdáleností hvězd (viz obrázek níže).

Další často využívaná metoda měření vzdálenosti využívá šíření světla nebo zvuku prostorem. Ukážeme si to na příkladu sonaru - uspořádání vidíte na obrázku. Sonar vyšle krátký zvukový puls a měří čas t, za který se vrátí zpět zvuk odražený od překážky. Díky známé rychlosti zvuku ve vzduchu za běžných podmínek (v = 340 m/s), můžeme určit vzdálenost překážky jako \(d = v · \tfrac{t}{2}\) (dělíme dvěma, neboť zvuk se šíří tam a zpět). Po detekci odraženého signálu může být vyslán další puls atd. To se může velmi rychle opakovat, vzdálenost můžeme měřit třeba stokrát za sekundu.

Zařízení, které využívá místo zvuku světlo (obecně elektromagnetické vlny), se nazývá radar. Radar musí měřit čas mnohem přesněji, neboť světlo je asi milionkrát rychlejší než zvuk (rychlost šíření světla ve vakuu je cca 300 000 000 m/s).

Kontrolní otázka

Zvukový signál sonaru se vrátil zpět po odrazu od autíčka za 0,004 s. Jak daleko je autíčko od sonaru? Napište hodnotu v metrech a počítejte s rychlostí zvuku 340 m/s.

Odeslat

Kontrolní otázka

Signál radaru se vrátil zpět po odrazu od letadla za 0,000 08 ms. Jak daleko je letadlo od radaru? Napište hodnotu v km.

Odeslat

Jak je definována sekunda?

V jednotkách času panoval v historii podobný či snad ještě větší zmatek, než tomu bylo u jednotek délky. Mnoho z těchto podivností se zachovalo, zejména v našem kalendáři, dodnes. Většina historických časových jednotek vychází z periodických pohybů, které nám nabízí příroda.

• Rok = doba oběhu Země kolem Slunce. Délku jednoho roku je možné změřit poměrně přesně pomocí sledování pohybu Slunce po obloze. Už ve starém Egyptě určili délku roku velmi přesně jako 365 a ¼ dne.
• Měsíc = doba mezi dvěma následujícími úplňky. Trvá zhruba 29,5 dne. Podle jedné z teorií vznikl náš sedmidenní týden jako necelá čtvrtina jednoho měsíce.
• Hvězdný den = 23 hodin 56 minut. Je to doba, za kterou se Země otočí kolem své osy o 360 stupňů. Určíme ji snadno pomocí pohybu hvězd po obloze. Je to doba, za kterou se hvězda vrátí na stejné místo na obloze.
• Sluneční den = 24 hodin. Je to doba mezi dvěma následujícími kulminacemi Slunce. Kulminace Slunce znamená bod, kdy je Slunce na obloze nejvýše – označuje se také jako astronomické poledne. Sluneční den je delší než hvězdný, neboť Země se za den o kousek posune na své trajektorii kolem Slunce (viz obrázek 2.12).

Příklad 1

Proveďte výpočet, který dokazuje, že časový rozdíl mezi hvězdným a slunečním dnem je cca 4 minuty.

Řešení:

Na obrázku vidíme, že Země se musí otočit o 360° a ještě malý kousek (červeně vyznačený úhel), aby se Slunce opět dostalo do stejné pozice na obloze. Země zároveň obíhá kolem Slunce a za jeden den změní svoji polohu přibližně o 1/365 z 360°, to je asi o 1°. Teď už známe velikost červeného úhlu a zbývá spočítat, za jak dlouho se Země otočí kolem své osy o 1°. Je to 1/360⋅24⋅60 min = 4 min.

Konečně se dostáváme k definici sekundy. Dělení hodiny na 60 dílů má původ v babylonské říši, která používala šedesátkovou soustavu. Název sekunda máme z latiny: Pars minuta prima znamená první malá část (hodiny). Pars minuta secunda potom druhá malá část. To bylo zkráceno do dnešní podoby:

hodina = 60 minut = 3 600 sekund

sekunda = 1/3 600 hodiny = 1/86 400 středního slunečního dne.

Poznámka na okraj: Střední sluneční den

Komplikací, která byla dobře známa už starověkým astronomům, je kolísání délky slunečního dne během roku. Astronomické poledne určené podle slunečních hodin se v průběhu roku posouvá až o 15 minut na obě strany (viz graf). Délka jednoho dne se v důsledku toho mění až o 30 sekund. Proto musíme určit průměrnou délku dne – střední sluneční den.

Ve 20. století bylo zřejmé, že rotace Země ani její oběh kolem Slunce nejsou přesně pravidelné vzhledem ke stále větší přesnosti měření času. V padesátých letech přišly na svět extrémně přesné atomové hodiny. Atomy určitého prvku zde určují přesnou frekvenci pomocí energiových hladin svých elektronů (přesný princip pochopíte v kapitole kvantová optika). Výhoda takového zdroje přesné frekvence je, že je definován přímo vlastnostmi samotných atomů a ty jsou všechny stejné a kdykoliv dostupné. Na základě atomových hodin byla proto zavedena nová definice sekundy pomocí atomu cesia:

1 sekunda = čas určený 9 192 631 770 periodami záření odpovídajícího přechodu mezi dvěma hladinami velmi jemného rozštěpení základního stavu atomu cesia 133.

Tuto definici není třeba si pamatovat: slouží nám jako ukázka toho, jak přesně dnes umíme měřit.

Jak měříme čas v praxi?

Dlouhou dobu se čas měřil pomocí slunečních hodin. Den i noc byly rozděleny na 12 hodin. Den trval od svítání do soumraku a noc od soumraku do svítání. To pochopitelně znamenalo, že “denní” hodina nebyla stejná jako “noční” hodina. Dělení dne na stejnoměrné hodiny se prosadilo až koncem středověku.

Velký zlom v měření času nastal až v roce 1655, kdy holandský fyzik Christian Huygens sestrojil první kyvadlové hodiny. Jejich odchylka činila asi 15 sekund za jeden den.

Dalším mezníkem byl námořní chronometr H4 Johna Harrisona z roku 1759 (viz obrázek). Ten dosáhl odchylky asi 15 sekund za 5 měsíců plavby na moři, tedy asi 0,1 sekundy za den. Kyvadlo je v těchto hodinách nahrazeno kmitající pružinou ve tvaru malé spirály.

Další hodinářská revoluce přichází až ve dvacátém století. V šedesátých letech je ve Švýcarsku zdokonalen systém quartz, kdy oscilátorem je miniaturní křemenný krystal zapojený do elektrického obvodu. Odchylka chodu takových hodinek nepřesahuje 10 sekund za rok, tedy 0,03 sekundy za den. To je jen o něco lepší výsledek než u Harrisonova chronometru, ale hodinky lze vyrábět v malém provedení a s minimálními náklady.

V padesátých letech také přichází na svět první cesiové atomové hodiny s odchylkou cca 1 sekundy za 300 let. Přesnost atomových hodin se rychle zlepšovala a momentálně (2019) nejpřesnější hodiny na světě jsou stronciové hodiny sestrojené americkým Národním institutem pro standardy a technologie (NIST). Jejich odchylka je necelá sekunda za 15 miliard let! Možná se ptáte, k čemu je nám taková přesnost dobrá, ale bez atomových hodin by neexistovala družicová navigace (GPS), synchronizace internetu ani obchodování na světových burzách.

Pokud chceme znát přesný občanský čas, není třeba si pořizovat atomové hodiny, stačí nám podívat se na internet (např. www.presnycas.eu). Pro většinu aplikací (fyzika, technika, sport) nám pak postačí obyčejné hodinky s křemenným krystalem nebo stopky. Při měření kratších časů musíme dávat pozor na reakční dobu člověka. To je čas, který potřebuje náš mozek, aby vyhodnotil zrakový vjem a vyslal signál do příslušného svalu. Reakční doba se pohybuje v rozmezí od 0,1 s do 1 s a závisí na mnoha okolnostech.

Základní jednotky soustavy SI

Seznámili jsme se s historií metru a sekundy jako jednotek délky a času. Fyzikálních veličin je ale mnohem víc a postupem času vznikla dohoda na systému všech jednotek. Tato soustava jednotek se nazývá Système International des Unités, zkráceně soustava SI nebo také metrická soustava.

Všechny základní jednotky jsou přesně definovány, podobně jako již uvedený metr a sekunda. Sedm základních jednotek je vybráno tak, aby bylo možné všechny ostatní jednotky vyjádřit jako jejich kombinace. Abychom to dokázali, potřebovali bychom znát příslušné definice a vztahy mezi veličinami. Uveďme proto nyní jen několik jednodušších příkladů:

S předponami pro vyjádření násobků jsme se seznámili už v první kapitole. Nepříjemnou výjimku představuje pouze základní jednotka kilogram, protože obsahuje předponu kilo- (1 kg = 1 000 g).

Kontrolní otázka

Převeďte následující hodnoty do základních jednotek SI: (odpověď napište včetně příslušné jednotky)

1) 2 mg =

2) 6 378 km =

3) 4 000 ms =

4) 120 mA =

Odeslat

Soustava SI dále dovoluje používat ještě několik dalších vedlejších jednotek. Například: minuta, hodina, den, úhlový stupeň, úhlová minuta, úhlová vteřina, hektar, litr, tuna. Nepleťte si sekundu jako jednotku času a vteřinu jako jednotku úhlu (1° = 60′ = 3600″). Pro připomenutí:

1 ha = 100 a = 10 000 m² (např. čtverec o straně 100 m)
1 l = 1 dm³ = 0,001 m³ (krychle o hraně 1 dm)
1 t = 1 000 kg.

Kontrolní otázka

Převeďte následující hodnoty do základních jednotek SI: (odpověď napište včetně příslušné jednotky)

1) 1 hodina =

2) 24,5 ha =

3) 37 500 t =

Odeslat

Příklad 1

Na městečko o rozloze 4 km² spadlo během prudké bouřky 50 mm srážek. Kolik litrů vody spadlo během bouřky (a) na celé městečko?, (b) na jeden metr čtvereční?

Řešení:

1. Nejdřív vše převedeme na dm, protože litr = dm³: 4 km² = 400 000 000 dm², 50 mm = 0,5 dm. Nyní můžeme spočítat objem spadlé vody: v = 400 000 000 dm² · 0,5 dm = 200 000 000 dm³ = 200 000 000 l.
2. Rozloha městečka nás nyní nezajímá. Počítáme, kolik vody spadlo na 1 m² = 100 dm².

K čemu slouží rozměrová zkouška?

Už víme, že násobení a dělení různých jednotek je možné, třeba m/s je odvozenou jednotkou (metr za sekundu). Nebo m² · m = m³. Pokud ovšem porovnáváme, sčítáme nebo odčítáme, musí být jednotky stejné. Není možné říct, kolik je m + s, nebo určit, co je víc, jestli 5 m nebo 20 s. Rozměrová zkouška je proto obyčejná kontrola správnosti jednotek ve vzorci – na obou stranách rovnice musí vyjít stejná jednotka. Často nám pomůže odhalit některé chyby nebo napoví podobu vzorce.

Kontrolní otázka

Pomocí rozměrové zkoušky rozhodněte, které vzorce pro obsah jsou určitě špatně. Veličiny \(a\), \(b\), \(c\) jsou hodnoty v metrech.

\(S = abc\)
\(S = (a+b)c\)
\(S = a^2 + 2bc\)
\(\displaystyle S = \frac{(a+b)(a+c)(b+c)}{2}\)

Odeslat  

Kontrolní otázka

Pomocí rozměrové zkoušky rozhodněte, který vzorec pro rychlost může být správně. S je dráha, t je čas.

\(v = s + t\)
\(v = s / t\)
\(v = s\cdot t\)
\(v = t / s\)

Odeslat  

Jak funguje soustava SI v praxi?

Od roku 1895 existuje Mezinárodní úřad pro míry a váhy, který sdružuje země používající metrický systém, schvaluje nové definice jednotek atd. Nejde jen o vědecký výzkum, používání soustavy SI je stanoveno zákonem. V úvodu českého zákona o metrologii stojí, že „Účelem zákona je úprava práv a povinností fyzických osob, které jsou podnikateli, a právnických osob a orgánů státní správy, a to v rozsahu potřebném k zajištění jednotnosti a správnosti měřidel a měření.“ Používání soustavy SI je tedy závazné pro všechny podnikatele, firmy a státní organizace.

V praxi se o jednotnost a správnost měření stará Český metrologický institut (www.cmi.cz). Nálepku ČMI prokazující ověření měřidel (viz foto) můžete najít třeba na váze v obchodě nebo čerpadle na benzínové pumpě. Metrologický institut rovněž uchovává národní etalony všech důležitých veličin.

Poznámka na okraj: Současné definice jednotek SI

V této kapitole jsme záměrně neuváděli v současné době platné definice sedmi základních jednotek SI. V roce 2019 totiž proběhla poslední velká změna celé soustavy základních jednotek a nové definice jsou pro běžného smrtelníka těžko pochopitelné, jak se můžete sami přesvědčit například na wikipedii (https://cs.wikipedia.org/wiki/Soustava_SI). Základní myšlenka nové soustavy je zjednodušeně řečeno tato: Pojďme vzít jednu veličinu, kterou umíme měřit nejpřesněji, a od ní odvodíme zbylých šest.

Pozorný čtenář si možná vzpomene, že touto vyvolenou veličinou by mohl být čas díky měření atomovými hodinami. Metr pak můžeme definovat pomocí dráhy, kterou urazí světlo za 1/299 792 458 sekundy, tedy pomocí času a určité fyzikální konstanty. Definice říká: „Metr je definován fixací číselné hodnoty rychlosti světla ve vakuu c, aby byla rovna 299 792 458, je-li vyjádřena jednotkou m ⋅ s⁻¹.“ Vidíme, že rychlost světla se nyní považuje za dohodou přesně stanovenou konstantu, jejíž hodnota určuje délku metru. Hodnota byla pochopitelně zvolena tak, aby co nejlépe odpovídala v té době nejpřesnějším měřením.

Pokud dnes budete měřit, jakou dráhu urazí světlo za 1/299 792 458 s, zjistíte s určitou nejistotou délku jednoho metru. Pro fyziku je užitečné, že fyzikální konstanty jsou nyní konečně konstantní a zpřesňování měření jen zlepšuje naši informaci o tom, jak dlouhý je jeden metr. Podobným způsobem jsou i ostatní veličiny odvozeny od sekundy a nějaké fyzikální konstanty. Jejich definice vycházejí ze vzorců, které poznáte v dalších kapitolách této knihy.

Co je to nejistota měření a jak s ní správně pracovat?

Vědecká metoda, jakožto způsob objevování našeho světa, je založena na měření. Vědci se snaží měřit co nejpřesněji, tak říkajíc s astronomickou přesností. Pojďme se na přesnost měření podívat podrobněji a společně odhalit nečekané souvislosti.

Začneme jednoduchým příkladem. Před námi leží předmět, dejme tomu papír A4, jehož délku potřebujeme zjistit. Přiložíme krejčovský metr s dílky po jednom centimetru a přečteme hodnotu 30 cm. Když chceme výsledek zpřesnit, místo metru použijeme pravítko s dílky po jednom milimetru, a odečteme hodnotu 29,7 cm.

První údaj byl změřen s přesností na centimetry (krejčovským metrem nemůžeme zjistit přesně, kolik milimetrů), druhý údaj známe přesněji - na milimetry, ale opět nevíme, jaké číslo bude následovat za sedmičkou (kolik desetin milimetrů). Místo pravítka bychom mohli brát stále citlivější měřidla, ale nikdy nemůžeme zjistit číslo na desetinném místě menším, než je nejmenší dílek na použitém měřidle. Tím dospíváme k zásadnímu poznatku: Žádnou veličinu ve fyzice nelze změřit zcela přesně.

Výsledek 30 cm získaný měřením svinovacím metrem znamená, že skutečná délka předmětu je blíže k 30 centimetrům nežli k 29 cm nebo 31 cm, ale nemůžeme rozhodnout, jestli je to 29,7 cm nebo třeba 30,1 cm. Zápis d = 30 cm bez dalšího upřesnění znamená, že správná hodnota délky předmětu leží v intervalu od 29,5 cm do 30,5 cm. Výsledkem měření je interval.

Vyjde-li délka papíru dejme tomu 300 mm, zapíšeme ji v cm jako 30,0 cm. Nula za desetinnou čárkou v tomto případě není zbytečná, pomáhá vyjádřit přesnost – odborně se tomu říká počet platných míst. Číslo má tolik platných míst, kolik má číslic, nepočítáme-li nuly na začátku. Údaj 30,0 cm má tři platná místa, můžeme ho takto zapsat v různých jednotkách:

30,0 cm = 300 mm = 0,300 m = 3,00 ⋅ 10⁸ nm (zápis na tři platná místa)

Nejistota měření \(\Delta a\) má stejnou jednotku jako změřená hodnota. V případě odečtu hodnoty na stupnici ji můžeme určit jako polovinu nejmenšího dílku stupnice. U digitálních přístrojů je potřeba nejistotu najít v návodu. V grafech se často nejistota vyznačuje úsečkami, jak můžete vidět na obrázku.

Co je to relativní nejistota?

Když měříme veličinu přesně, znamená to, že nejistota \(\Delta a\) je velmi malá v porovnání s měřenou hodnotou \(a_\mathrm{m}\). Přesnost různých měřicích metod se porovnává pomocí tzv. relativní nejistoty \(\delta a\): Relativní nejistota \(\delta a\) říká, kolik procent z naměřené hodnoty \(a_\mathrm{m}\) zaujímá nejistota \(\Delta a\).

Často se stane, že potřebujeme určit nejistotu veličiny vypočítané ze změřených hodnot (například určujeme hustotu na základě měření objemu a hmotnosti). V těchto případech určujeme nejistotu výsledku pomocí zákona přenosu nejistoty. Většinou si vystačíme s těmito čtyřmi pravidly:

Použití těchto pravidel ukazuje následující příklad.

Příklad 1

Určete hustotu tělesa včetně nejistoty, víte-li, že jeho hmotnost je \(m=(702{,}4\pm0{,}1)\ \mathrm{g}\) a objem je \(V=(32{,}8\pm0{,}5)\ \mathrm{cm}^3\).

Řešení:

\(\varrho=m/V=21\,415\ \mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}^{-3}\). Jelikož \(m\) a \(V\) vystupují v podílu, platí podle pravidla pro počítání s relativními nejistotami: \(\delta\varrho=\sqrt{(\delta m)^2+(\delta V)^2}\).

Relativní nejistoty si musíme nejdřív vypočítat:

\[\begin{aligned} \delta m &=\frac{0{,}1\ \mathrm{g}}{702{,}4\ \mathrm{g}}=0{,}000\,14\;,\\ \delta V &=\frac{0{,}5\ \mathrm{cm}^3}{32{,}8\ \mathrm{cm}^3}=0{,}015\;,\\ \delta\varrho &= \sqrt{(\delta m)^2+(\delta V)^2} = \sqrt{0{,}00014^2 + 0{,}015^2} = 0{,}015\\ \end{aligned}\]

Vidíme, že veličina s větší relativní nejistotou (objem) rozhoduje o celkové nejistotě.

Na závěr určíme absolutní nejistotu

\[\Delta\varrho=\varrho\cdot\delta\varrho=21\,415\ \mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}^{-3}\cdot0{,}015=321{,}225\ \mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}^{-3}\doteq300\ \mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}^{-3}\]

(nejistotu zaokrouhlujeme na jedno, maximálně dvě platná místa).

Teprve teď můžeme správně zaokrouhlit také výslednou hustotu, a to podle výsledné nejistoty: \(\varrho=(21\,400\pm300)\ \mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}^{-3}\).

Nyní máme potřebné nástroje také pro dokončení úlohy o měření papíru A4 z úvodu této kapitoly.

Příklad 2

Určete plošnou hustotu papíru A4 včetně nejistoty, víte-li, že jeho hmotnost je \(m=(5{,}0\pm0{,}1)\ \mathrm{g}\) a rozměry jsou \(a=(21{,}00\pm0{,}05)\ \mathrm{cm}\), \(b=(29{,}70\pm0{,}05)\ \mathrm{cm}\).

Řešení:

\(\varrho=m/S=m/(ab)=80{,}2\ \mathrm{g/m}^2\).
Poučeni z předchozího příkladu už nemusíme používat zákon přenosu nejistot, neboť vidíme, že relativní nejistota hmotnosti je řádově větší než nejistoty rozměrů \(a\), \(b\). Proto můžeme psát:
\(\delta\varrho=\delta m =0{,}1\ \mathrm{g}/5\ \mathrm{g}=0{,}02\),
\(\Delta\varrho=\varrho\cdot\delta\varrho=80{,}2\ \mathrm{g/m}^2\cdot0{,}02\doteq2\ \mathrm{g/m}^2\)
\(\varrho=(80\pm2)\ \mathrm{g/m}^2\).

Systematická chyba měření

Ne vždy je nejistota měření dána pouze citlivostí přístroje. Často vstupuje do hry ještě systematická chyba, která může naše měření pořádně pokazit, aniž bychom to tušili. Seznámíme se s ní pomocí jednoho experimentu:

V nádobě je trocha octa a na ní nafukovací balónek se sodou (viz obrázek). Nádobu položíme na přesnou váhu a poté vysypeme sodu do octa – balónek se nafoukne. Vidíme, že údaj na váze se změnil. Proč? Může se chemickou reakcí změnit hmotnost? Nebo je na vině nafouknutý balónek? Který údaj na váze představuje skutečnou hmotnost nádoby s balónkem?

Systematickou chybu při vážení způsobuje vztlaková síla působící směrem vzhůru. Kvůli ní váha ukáže vždy menší hodnotu, než odpovídá skutečné hmotnosti nádoby s balónkem. A to i v případě, kdy nebyl balónek nafouknutý. Tuto chybu můžeme odstranit buď tím, že budeme vážit ve vakuu, nebo výpočtem velikosti vztlakové síly podle vzorce a následnou korekcí.

Systematická chyba způsobuje, že všechny měřené hodnoty jsou stejným způsobem posunuté oproti skutečnosti. Například při měření pravítkem může člověk stupnici špatně přikládat k předmětu (lidská chyba) nebo se pravítko při měření za nízké teploty o něco zkracuje (chyba měřidla). Odstranění systematických chyb je velmi důležité, protože bez něj může správná hodnota měřené veličiny ležet zcela mimo interval spolehlivosti. Stejně důležitý je odhad systematických chyb a odpovídající zvětšení nejistoty v případech, kdy není možné systematickou chybu odstranit.

Náhodná chyba měření

Máme-li dostatečně citlivé měřidlo, můžeme odhalit, že jsou naše měření ovlivněna nějakým náhodným vlivem nebo šumem (náhodné otřesy, kolísání napětí v elektronických přístrojích...). Opět si to ukážeme v jednom experimentu:

Učitel dvakrát po sobě tleskne. Vaším úkolem bude změřit stopkami dobu mezi dvěma tlesknutími. Měření bude výrazně ovlivněno reakční dobou člověka, která závisí na jeho momentálním soustředění a je pokaždé trochu jiná. Vliv této náhodné chyby můžeme podstatně zmírnit tím, že budeme měření opakovat – necháme ten samý jev měřit současně víc lidí a jejich výsledky zprůměrujeme.

V tabulce vidíte příklad konkrétních výsledků. Extrémní hodnotu, která se nachází daleko od ostatních, ze zpracování většinou vyřazujeme. U takové hodnoty máme podezření, že došlo k hrubé chybě (omylu).

Náhodná chyba se projeví rozptýlením hodnot kolem skutečné hodnoty při opakovaném měření. Náhodné vlivy se průměrováním částečně vyruší (na rozdíl od systematické chyby, která posunuje všechny hodnoty stejně). Proto při opakovaném měření, které je zatíženo významnou náhodnou chybou, použijeme aritmetický průměr měřených hodnot.

aritmetický průměr \(\displaystyle x=\frac{x_1+x_2+x_3+\dots+x_n}n=\frac1n\sum_{i=1}^n x_i\)

Vliv systematické a náhodné chyby na soubor měření ukazuje následující graf:

Opakovaná měření zatížená náhodnou chybou jsou v praxi docela častá, proto se dále zpracovávají pomocí statistických metod. Je samozřejmě snahou každého experimentálního fyzika, aby chyby jeho měření byly co nejmenší. Ale na které musí dávat větší pozor? Určitě na systematické! Zatímco náhodné chyby se samy prozradí (při opakovaném měření bude získávat různé hodnoty), systematické chyby opakováním měřením nikdy neodhalí.