Kvantová optika

Částicová povaha světla, foton

Během 19. století naše znalosti o vlastnostech světla značně pokročily. Velmi dobře jsme uměli vysvětlit přímočaré šíření světla, jeho odraz a lom, pomocí vlnové teorie dokonce i ohyb, interferenci nebo polarizaci. I přesto však stále existovaly jevy, jejichž vysvětlení nebylo uspokojivé, nebo bylo dokonce nemožné.

Například se stále nedařilo objasnit původ tmavých čar ve slunečním spektru (Josef von Fraunhofer, 1814) nebo vyložit fotoelektrický jev (Heinrich Hertz, 1888). Převládal názor, že světlo je elektromagnetické vlnění (Maxwellova teorie). Záhadou také bylo, jak světlo vzniká. Představa zahřátého tělesa jako jednotlivých kmitajících zářičů narážela na limity v UV oblasti spektra.

Kolem roku 1900 Max Planck, který se zabýval zářením zahřátých těles, přišel s revoluční myšlenkou: Energie je přenášena pomocí „malých balíčků energie“. Tyto balíčky nazýváme kvanta a teorii kvantovou teorií. Tato teorie se ukázala velmi užitečná. Umožnila totiž vysvětlit další pozorované jevy a nakonec i potvrdit Newtonovu domněnku, že i světlo je tvořeno částicemi. Nedůvěra ke světelné kvantové hypotéze přetrvávala až do roku 1923, kdy byl pozorován a pomocí kvantové teorie i vysvětlen Comptonův jev (interakce záření a volných elektronů).

Foton

Světlo a veškeré elektromagnetické záření je tvořeno malými „balíčky“ energie – fotony.

Ve světle monochromatického záření (laser, dioda) tak mají všechna kvanta, to znamená všechny fotony, stejnou energii \(E=hf\) nebo také \(E=hc/\lambda\). V případě polychromatického záření (denní světlo, žárovka) se ve svazku nacházejí fotony o různých energiích.

Kontrolní otázka

Vyberte všechny správné odpovědi. Z viditelného spektra má foton červeného světla:

největší vlnovou délku,
nejvyšší rychlost ve vakuu,
největší frekvenci,
nejmenší energii.

Odeslat  

Příklad 1

Kolik fotonů vyzáří červený diodový laser vlnové délky 630 nm o výkonu 8 mW během 20 minut?

Řešení:

Abychom zjistili, kolik fotonů vyzáří tento laser, musíme porovnat celkovou vyzářenou energii \(E\) a energii nesenou jednotlivým fotonem \(E_1\).

\[ E_1 = hf = h\frac{c}{\lambda} = 6{,}63\cdot10^{-34}\cdot\frac{3\cdot10^8}{6{,}30\cdot10^{-7}}\ \mathrm{J} = 3{,}2\cdot10^{-19}\ \mathrm{J} \] \[ E = Pt = 8\cdot10^{-3}\cdot1200 = 9{,}6\ \mathrm{J} \]

Porovnáním nyní zjistíme počet vyzářených elektronů:

\[ N = \frac{E}{E_1} = \frac{9{,}6}{3{,}2\cdot10^{-19}} = 3\cdot10^{19}\;. \]

To je obrovské číslo, těžko k němu budeme hledat porovnání. Je to tím, že hodnota Planckovy konstanty je velmi malá a kvantování světla si tedy ve většině situací nevšimneme. Podobně jako při nalévání vody do sklenice nepozorujeme, že přidáváme jednotlivé celé molekuly.

Fotoelektrický jev

Pokud svazek světla narazí na překážku, může být každý jednotlivý foton buď pohlcen, odražen nebo rozptýlen. Jestliže je odražen, nedochází k výměně energie. Je-li naopak pohlcen, zaniká a kvantum energie o velikosti \(hf\) je předáno materiálu. Při rozptylu se sice energie fotonu zmenší, je to ale tím, že foton zanikne a vznikne foton s menší energií.

V roce 1888 objevil německý fyzik Heinrich Hertz zajímavý jev. Při dopadu světla (záření) na povrch materiálu (nejčastěji kovu) z něj mohou být uvolněny elektrony. K jejich uvolnění však dochází pouze od určité prahové frekvence, která je charakteristická pro daný kov. Ozáříme-li kov světlem s nižší frekvencí, uvolnění elektronů nenastane. Nepomůže ani zvětšení intenzity světla.

25.11 – Schéma obvodu pro studium fotoelektrického jevu. V případě osvětlení katody viditelným světlem k fotoelektrickému jevu nedochází. V případě osvětlení ultrafialovým zářením ano.
Zdroj

Výsledek experimentu byl v rozporu s tehdejšími představami o světle. Podle vlnové teorie by světelné záření mělo rozkmitávat částice v látce bez ohledu na frekvenci dopadajícího záření a při zvýšení intenzity světla by mělo být uvolňováno více elektronů.

Vysvětlení nabídl roku 1905 Albert Einstein. Je nutné předpokládat, že se záření chová jako proud částic. Každý z fotonů nese energii \(E=hf\). Jestliže je tato energie dostatečná, je z materiálu uvolněn elektron s určitou rychlostí \(v\) a foton je pohlcen. Aby k tomu došlo, musí být energie nesená fotonem alespoň rovna energii, kterou musíme elektronu dodat, abychom ho z látky uvolnili – tzv. výstupní práci \(W_0\). Tato energie závisí na daném materiálu.

Jaké možnosti tedy nastávají?

• Energie nesená fotonem \(hf\) je příliš malá (\(hf<W_0\)). V tomto případě fotoelektrický jev nenastává. Záření není schopno z materiálu uvolnit elektrony při libovolně vysoké intenzitě světla.
• Energie nesená fotonem \(hf\) je přesně tak velká (\(hf=W_0\)), aby fotoelektrický jev nastal. Foton je pohlcen materiálem a jeho energie je použita k uvolnění elektronu z materiálu. Žádná další energie již nezbývá, uvolněn je tedy elektron s nulovou rychlostí.
• Energie nesená fotonem \(hf\) je velká (\(hf>W_0\)), dochází k fotoelektrickému jevu. Část energie fotonu je spotřebována na uvolnění elektronu (výstupní práce \(W_0\)), přesto však ještě zbývá nějaká část energie, kterou odnáší uvolněný elektron ve formě své kinetické energie.

Vše výborně shrnuje jedna rovnice – celková energetická bilance, kterou nazýváme Einsteinova rovnice pro fotoefekt (jiné označení pro fotoelektrický jev):

Kromě energie fotonu \(hf\) a výstupní práce elektronu v daném materiálu \(W_0\) zde také vystupuje kinetická energie uvolněného fotonu \(E_\mathrm{k}=\frac12mv^2\), kde \(m\) je hmotnost elektronu a \(v\) jeho rychlost.

Následující graf ukazuje závislost kinetické energie uvolněných elektronů na frekvenci dopadajícího záření pro tři různé prvky. Můžeme na něm zřetelně vidět, kdy fotoelektrický jev nastane, a kdy ne:

Vezměme například lithium Li. Fotoelektrický jev nastává až při frekvenci dopadajícího záření kolem 7,0 ⋅ 10¹⁴ Hz, dojde k němu tedy pouze tehdy, osvítíme-li lithium fialovým světlem. Ovšem pro cesium najdeme tuto hranici již v oblasti oranžového světla při frekvenci 5,2 ⋅ 10¹⁴ Hz. Oproti tomu zinek má hranici pro fotoefekt až v oblasti ultrafialového světla. Jeho mezní frekvence je 8,8 ⋅ 10¹⁴ Hz. U zinku tedy fotoelektrický jev nevyvoláme viditelným zářením!

Příklad 1

Jeden typ elektronky používá jako katodu sodík. Pro sodík nastává fotoelektrický jev při vlnové délce světla nejvýše 526 nm.

1. Jaká je výstupní práce elektronu pro sodík? (Výsledek vyjádřete v eV.)
2. Nastane fotoelektrický jev, jestliže na sodíkovou katodu dopadá ultrafialové světlo o vlnové délce 348 nm? Pokud ano, jakou kinetickou energii v eV budou mít uvolněné elektrony?

Řešení:

a) Výstupní práce pro daný prvek je rovna součinu Planckovy konstanty \(h\) a prahové frekvence \(f_0\), od které fotoefekt nastává. Pro výstupní práci tak dostáváme

\[ W_0 = hf_0 = \frac{hc}{\lambda_0} = \frac{6{,}63\cdot10^{-34}\cdot3\cdot10^8}{526\cdot10^{-9}}\ \mathrm{J} = 3{,}78\cdot10^{-19}\ \mathrm{J} = 2{,}36\ \mathrm{eV} \]

b) Jestliže na katodu dopadá ultrafialové světlo o vlnové délce 348 nm, fotoefekt nastane, protože vlnová délka je menší než mezní vlnová délka. Frekvence dopadajícího světla tedy musí být větší než mezní frekvence \(f_0\). Kinetickou energii uvolněného elektronu vyjádříme z rovnice fotoefektu vztahem

\[ E_\mathrm{k} = \frac{hc}{\lambda} - W_0 = \] \[ = hc\left(\frac1{\lambda}-\frac1{\lambda_0}\right) = \] \[ = 6{,}63\cdot10^{-34}\cdot3\cdot10^8\cdot\left(\frac1{348\cdot10^{-9}}-\frac1{526\cdot10^{-9}}\right) = \] \[ = 1{,}93\cdot10^{-19}\ \mathrm{J} = \] \[ = 1{,}20\ \mathrm{eV}\;. \]

Zatím jsme se zabývali pouze situací, kdy dopadající záření uvolní elektrony tak, že opouštějí daný materiál. V tomto případě hovoříme o vnějším fotoelektrickém jevu. Vnějšího fotoelektrického jevu využíváme ve fotonásobičích, což jsou tak citlivá elektronická zařízení, že umožňují detekci i jediného fotonu.

Zcela běžná je však také situace, kdy uvolněné elektrony zůstávají v daném materiálu, nejčastěji v polovodiči. Tento jev nazýváme vnitřní fotoelektrický jev a využíváme ho ve fotodiodě nebo fotorezistoru, fotovoltaickém článku, fotovoltaickém panelu nebo také na čipech CCD našich telefonů a digitálních kamer.

Využití fotoelektrického jevu

Comptonův jev

Patrně nejdůležitějším objevem, který potvrdil částicovou povahu světla a ukončil pochybnosti fyziků o povaze světla, byl Comptonův jev. Roku 1923 Arthur Holly Compton studoval interakci záření a volných elektronů. Při svém experimentu ozařoval rentgenovými paprsky uhlíkový terč. Při tom měřil vlnovou délku fotonů pro daný rozptylový úhel. Podle vlnové teorie bychom měli získat klasický difrakční obrazec. Vlnová délka dopadajícího i rozptýleného záření jsou v takovém případě stejné.

Výsledek experimentu však ukazuje něco jiného. Některé fotony nejsou vůbec rozptýleny a nemění se ani jejich frekvence, zatímco jiné fotony jsou rozptýleny pod různými úhly a jejich vlnová délka je větší než vlnová délka záření dopadajícího na elektrony, mají tedy menší energii.

Compton vysvětlil rozptyl rentgenových paprsků na uhlíku pomocí fotonů. Na srážku RTG záření a elektronu nahlížíme jako na interakci dvou pevných částic – fotonu a nehybného elektronu. Při této srážce se zachovává energie i hybnost soustavy. Rovnice vyjadřující zákon zachování energie má tvar \(hf=hf'+E_\mathrm{k}\), kde \(hf\) je energie dopadajícího fotonu, \(hf'\) je energie rozptýleného fotonu a \(E_\mathrm{k}\) je kinetická energie elektronu po srážce. Po nárazu má elektron kinetickou energii a rozptýlený foton, který ztratil určitou hodnotu energie, má menší energii. Jeho frekvence je nižší než frekvence dopadajícího fotonu (\(f'<f\)), a vlnová délka naopak vyšší (\(\lambda'>\lambda\)). Jak jsme již zmínili, při této srážce je zachována nejen energie, ale také hybnost, kterou pro pohybující se foton můžeme vyjádřit vztahem

Comptonův jev se spolu s vysvětlením fotoelektrického jevu stal jasným důkazem správnosti částicové teorie světla a ta byla v roce 1923 vědeckou společností definitivně přijata.

Spektroskopie

Vznik spekter

V předchozí kapitole jsme si ukázali, že světlo můžeme rozložit na barvy pomocí optického hranolu. Spektrum můžeme získat také tím, že se světlo odrazí na mřížce nebo jí projde.

Optický hranol i optická mřížka jsou základem přístrojů zvaných spektroskop. Rozlišujeme tedy dva druhy spektroskopů: hranolový a mřížkový. V prvním z nich využíváme disperze světla na optickém hranolu, ve druhém difrakce světla na mřížce (viz kapitola 24.).

Současné spektrometry (na rozdíl od spektroskopu spektrometrem můžeme změřit i vlnové délky jednotlivých barev) využívají optické difrakční mřížky na odraz, neboť ty nám umožňují lépe rozlišit jednotlivé vlnové délky. Difrakční mřížka je blok skla pokrytý vrstvou kovu (kupř. Al), na jehož povrchu je rytím, případně jinými technikami, vytvořena soustava jemných čar. Těch bývá několik stovek nebo i tisíc na 1 mm.

Poznámka na okraj: Schéma spektrometru

Na obrázku vidíme schéma typického spektrometru s montáží Czerny–Turner. Světlo ze zkoumaného zdroje je přivedeno např. optickým vláknem na vstupní štěrbinu spektrometru a dopadá na kolimační zrcadlo, které z něj vytváří rovnoběžný svazek. Tento svazek je rozdělen podle barvy světla na difrakční mřížce (ve spektrometru mohou být na výběr i tři různé mřížky). Jednotlivé barvy jsou druhým zrcadlem soustředěny na detektor. Kvalita spektrometru je do značné míry určena použitým detektorem. V případě plošného detektoru (CCD nebo CMOS) se obraz štěrbiny promítne v různých barvách do různých míst detektoru, pak pozorujeme spektrální čáry současně na určitém intervalu vlnových délek. V případě jednoduchého detektoru, jako je fotonásobič (PMT), je obraz zaostřen na výstupní štěrbinu zařazenou před detektorem. Ta propustí jen velmi úzkou část spektra. Spektrum se pak získá skenováním, tj. postupným otáčením mřížky a měřením signálu na nastavené vlnové délce.

Rozdělení spekter

Podle toho, jak spektrum vzniklo, rozlišujeme spektrum emisní a spektrum absorpční.

Emisní spektrum pozorujeme v případě, kdy je v látce dost energie na to, aby atomy látky byly excitovány. Tuto energii látka může získat různými způsoby, např. zahřátím (sodík v plameni), osvícením (luminofor zářivky nebo bílé ledky) nebo srážkami s jinými částicemi (s elektrony elektrického výboje).

Ze světla vysílaného samotnou látkou vymezíme úzký svazek, který soustředíme čočkou nebo zrcadlem na optický hranol či mřížku. Po odrazu světla na mřížce můžeme na stínítku, v dalekohledu nebo na elektronickém čipu pozorovat emisní spektrum světelného zdroje.

U látky, která sama nemá dost energie na to, aby svítila, můžeme stále ještě pozorovat absorpční spektrum. Vezmeme zdroj bílého světla, jehož spektrum je spojité. Takovým zdrojem je například žárovka.

Toto světlo necháme zkoumaným vzorkem látky, například chladný plyn uzavřený v trubici, případně roztok uvedené látky. Některé vlnové délky budou látkou pohlceny, a na spojitém pozadí se tak objeví černé absorpční čáry.

Tyto čáry odpovídají barevným čarám, které u daného prvku najdeme v emisním spektru. Obě spektra, emisní i absorpční, jsou velmi podobná. Barvy, které chybí v absorpčním spektru, nalezneme v emisním spektru (emisní spektrum ovšem bývá na počet čar bohatší). Společně tak mohou sloužit k precizní analýze zkoumaných látek. Jak vypadá emisní a absorpční spektrum různých prvků, se můžete podívat na této simulaci.

Vznik světla

Pojetí vzniku, nebo naopak pohlcování světla v atomu není v souladu s klasickou fyzikou. K pochopení toho, jak v atomu vzniká světlo, velmi významně přispěl dánský fyzik Niels Bohr. V roce 1913 publikoval sérii článků a v prvním z nich použil Planckovu myšlenku kvantování energie, aby objasnil vznik atomových spekter.

Zásadní jsou tyto dvě myšlenky:

První podmínka říká, že energie atomu je kvantována. To znamená, že energie atomu nabývá pouze určitých diskrétních hodnot, což zakreslujeme do energetického diagramu. V tomto diagramu máme pouze jednu svislou osu, na kterou vynášíme hodnoty energií atomu v elektronvoltech (eV). Její hladiny znázorňujeme vodorovnými úsečkami. Čím je energie atomu vyšší, tím výše je tato úsečka v diagramu umístěna.

Jestliže je energie atomu minimální, hovoříme o základním stavu atomu. Ve spektroskopii mu obvykle přiřadíme hodnotu energie \(E_0=0\ \mathrm{eV}\). Tomuto stavu odpovídá takové uspořádání elektronů v elektronovém obalu, kdy jsou elektrony na nejnižších dovolených hladinách. Tento stav atomu je stabilní.

Vyšší hladiny v energetickém diagramu označujeme jako excitované stavy atomu. Těchto stavů je velmi mnoho, každý z nich odpovídá určité elektronové konfiguraci, ve které je alespoň jeden nebo více elektronů ve vyšších hladinách. Tyto stavy nejsou stabilní, atom v nich zůstává pouze po krátkou dobu (od 1 do 10 ns). Poté se vrací do základního stavu. Tomuto návratu říkáme deexcitace.

Aby se elektron dostal na místo odpovídající celkové vyšší energii atomu, musí přijmout tuto energii například ve výboji, při srážce s elektronem nebo, jak si ukážeme dále, od vhodného dopadajícího fotonu.

To, jak jsou v elektronovém obalu rozmístěny energetické hladiny a elektrony, je snadné si představit pro atom vodíku, ve kterém kolem kladně nabitého protonu obíhá pouze jediný elektron. Taková byla Bohrova, dnes již překonaná, představa uspořádání atomu vodíku. Jakmile ale máme v elektronovém obalu více elektronů, možných „poloh“ elektronu vzhledem k jádru a vzhledem k ostatním elektronům je velmi mnoho a každé takové konfiguraci odpovídá určitá hladina v energetickém diagramu atomu.

Vznik světla souvisí právě s elektronovými přechody a změnou energetického stavu atomu. Jestliže se atom nachází v některém z excitovaných stavů, elektron přejde na nižší hladinu a přebytečná energie musí být z atomu odnesena (obrázek 25.22a). Jestliže atomu naopak dodáme energii, která odpovídá rozdílu mezi dvěma energetickými hladinami, záření je atomem pohlceno a dochází k elektronovému přechodu na vyšší hladinu (obrázek 25.22b). Tyto přechody popisuje druhá podmínka kvantování. Energie vyzářeného nebo pohlceného fotonu má tedy hodnotu \(E=E_n-E_m=hf\).

Protože energetické hladiny jsou kvantovány, elektronové přechody jsou kvantovány rovněž. Jim odpovídající energie nabývá pouze určitých hodnot, a proto nemůže být atomem pohlcen nebo vyzářen foton o libovolné frekvenci, ale pouze ten, jehož energie odpovídá přechodu mezi dvěma energetickými hladinami. To je důvod, proč jsou spektra atomů čárová.

Poznámka na okraj: Volný atom

Jestliže zde hovoříme o atomových spektrech a jejich čarovém charakteru, máme na mysli volný atom, nikoliv atom v molekule nebo v pevné látce. V případě molekul bychom do celkové energie museli započítat i rotační a vibrační energii, což poměrně komplikuje náš teoretický model.

Příklad 1

Hypotetický atom a absorpce záření

Uvažujme zcela smyšlený modelový atom s energiemi 0 eV (základní stav), 4 eV, 6 eV a 7 eV (excitované stavy). Jaké jsou energie fotonů, které může atom absorbovat?

Řešení:

Nejprve si nakresleme energetický diagram tohoto atomu.

Při elektronovém přechodu je foton zcela pohlcen a jeho energie je odevzdána atomu. To znamená, že může být absorbován pouze foton nesoucí energii o velikosti 4 eV, 6 eV nebo 7 eV. Jiné hladiny energie nejsou povoleny.

Příklad 2

Hypotetický atom a emise záření

Uvažujme znovu modelový atom s energiemi 0 eV (základní stav), 4 eV, 6 eV a 7 eV (excitované stavy). Jaké energie fotonů může tento atom vysílat, jestliže se nachází ve druhém excitovaném stavu o energii 6 eV?

Řešení:

Opět znázorníme červeným puntíkem, že se atom nachází ve stavu s energií 6 eV.

Mohou nastat dvě možnosti. Elektron se vrátí přímo do nejnižšího stavu a vyzáří při tom odpovídající energii o velikosti rozdílu těchto hladin, tj. 6 eV. Druhou možností je, že elektron přeskočí do nižšího excitovaného stavu, zde je to hladina 4 eV, a vyzáří pouze energii o velikosti 2 eV. Teprve poté se vrátí do základního stavu a vyzáří zbývající 4 eV.

Příklad 3

Frekvence atomem vysílaného světla

Vypočítejte, jaké frekvence a vlnové délky by odpovídaly elektronovým přechodům z předchozího řešeného příkladu.

Řešení:

Pro energii nesenou fotonem, který vznikne přechodem elektronu mezi dvěma energetickými hladinami atomu, platí: \(E=E_n-E_m=hf\). Odtud pak pro frekvenci světla dostáváme

\[ f = \frac{E_n-E_m}h = \frac{(6\ \mathrm{eV}-0\ \mathrm{eV})\cdot1{,}6\cdot10^{-19}\ \mathrm{J}\cdot\mathrm{eV}^{-1}}{6{,}64\cdot10^{-34}\ \mathrm{J}\cdot\mathrm{s}} = 1{,}5\cdot10^{15}\ \mathrm{Hz}\;. \]

Ve vakuu by měl tento foton vlnovou délku

\[ \lambda = \frac cf = \frac{3\cdot10^8\ \mathrm{m/s}}{1{,}5\cdot10^{15}\ \mathrm{Hz}} = 2{,}0\cdot10^{-7}\ \mathrm{m} = 200\ \mathrm{nm}\;, \]

což odpovídá ultrafialovému světlu. Přeskoku o energii 4 eV pak přísluší frekvence 9,7 ⋅ 10¹⁴ Hz a vlnová délka o velikosti 310 nm, která opět leží v ultrafialovém oboru. Teprve pro přechod odpovídající energii 2 eV získáme frekvenci 4,8 ⋅ 10¹⁴ Hz a vlnovou délku 620,6 nm, která se nachází ve viditelné oblasti (červená barva).

Kontrolní otázka

Uvažujme stále náš hypotetický atom. Představme si, že je ve stavu, kterému odpovídá energie o velikosti 7 eV. Může tento atom při přeskoku do nižšího stavu vyzářit foton nesoucí energii o velikosti 3,5 eV?

ano
ne

Odeslat  

Nemůže, protože tento energetický rozdíl neodpovídá žádnému rozdílu mezi hladinami energie atomu.

Kontrolní otázka

Jaké jsou možné vyzářené energie pro uvažovaný atom z předchozí otázky? Vyberte všechny správné odpovědi.

0 eV
1 eV
2 eV
3 eV
4 eV
5 eV
6 eV
7 eV
8 eV

Odeslat  

Elektrony v blízkosti atomového jádra jsou u něj poměrně dobře drženy. Přechody elektronů tak nastávají převážně u elektronů z vyšších energetických hladin (valenčních vrstev). Pokud elektronu dodáme energii rovnou nebo vyšší, než by odpovídalo rozdílu mezi maximální možnou energií daného atomu a jeho aktuální energií, elektron bude zcela vytržen z elektronového obalu a přebytečnou energii odnese ve formě své kinetické energie. Dojde k ionizaci atomu, z neutrálního atomu se stane kladný iont. V takovém případě hovoříme o ionizovaném stavu atomu.

V reálném atomu je situace obvykle složitější. Přechody mezi různými stavy atomu jsou různě pravděpodobné. Tato pravděpodobnost je pak jedním z faktorů ovlivňujících intenzitu spektrální čáry. Mezi některými stavy jsou přechody doprovázené emisí fotonu dokonce zakázány. Jim odpovídající čáry ve spektru obvykle nenajdeme, případně jsou velice slabé. Více v následující galerii atomových spekter.

Emisní spektra některých prvků ve viditelné části spektra

Spektrum atomu vodíku

Podívejme se nyní detailně na nejjednodušší a nejrozšířenější prvek ve vesmíru. Na příkladu vodíku si ukážeme, jak uplatnit pravidla vysvětlená v předchozím textu.

Jestliže na výbojku s vodíkem přivedeme napětí 5 000 V, molekuly plynného H₂ jsou pomocí elektrického výboje disociovány na atomy vodíku H. Po jejich excitaci při následném návratu do základního stavu budou tyto atomy vytvářet fotony charakteristických vlnových délek a výbojka bude vydávat jasné růžové světlo. Podíváme-li se na ni spektroskopem nebo spektrometrem, zjistíme, jak vypadá spektrum vodíku.

Vodíková výbojka a spektrum vodíku

V emisním spektru vodíku najdeme 4 barevné čáry ve viditelné oblasti. Jejich vlnové délky a značení jsou H_α 656,3 nm (červená), H_β 486,1 nm (světle modrá), H_γ 434,0 nm (indigová) a H_δ 410,2 nm (fialová). Poslední z nich je velice slabá a špatně viditelná. Podle objevitele matematického výrazu poskytujícího tyto vlnové délky je nazýváme Balmerovou sérií.

Existují však i spektrální čáry okem neviditelné, například v ultrafialové oblasti nebo v infračervené oblasti. V tomto případě hovoříme o Lymanově sérii nebo o sérii Paschenově, Brackettově či Pfundově.

Pozorovaná spektra jsme ale dlouho neuměli vysvětlit.

Poznámka na okraj: Trocha historie

Johann Balmer a Johann Rydberg dokonce sestavili matematický vztah, který umožňoval vypočítat vlnové délky emitovaných spektrálních čar:

\[ \frac1{\lambda_{nm}} = R_\mathrm{H}\left(\frac1{m^2}-\frac1{n^2}\right)\;. \]

Byl to čistě empirický vztah a nikdo jej neuměl vysvětlit na základě žádné teorie.

Řešení přinesl v roce 1913 právě Niels Bohr svým kvantováním energie v atomu a modelem atomu vodíku. Zde uvádíme základní Bohrovy postuláty, na kterých je postaven jeho model atomu:

1. V atomu existují stacionární stavy, na kterých se elektron pohybuje podle zákonů klasické mechaniky. Na těchto hladinách elektron nevyzařuje energii, a je tedy stabilní.
2. Ke změně energie dochází pouze při přeskoku elektronu z jedné hladiny na druhou. Pokud energii elektronu dodáme, přeskočí na vyšší hladinu, a naopak. Tato energie je rovna \(E=hf\), což znamená, že se při přeskoku buď absorbuje, nebo vyzáří foton s frekvencí \(f\) (\(h\) zde značí Planckovu konstantu).
3. Dráhy, na kterých se elektron může pohybovat, musí splňovat \(L=n\,h/2\pi\), tedy že úhlový moment hybnosti elektronu musí být celočíselným násobkem redukované Planckovy konstanty.

Podle Bohra se elektrony v atomu vodíku pohybují kolem jádra po kružnicích v určitých hladinách a jejich energie je stálá. Třetí postulát pak hovoří o kvantování momentu hybnosti, což je veličina popisující rotační pohyb tělesa, v našem případě elektronu kolem jádra.

Myšlenka to byla převratná, protože Planckovu teorii kvantování již dříve (1905) Einstein použil na světlo a nyní (1913) ji Bohr uplatnil i na jiné objekty než světlo. Bohrův model byl velmi rychle přijat, neboť umožnil jednoduše vysvětlit pozorované jevy. Za svůj přínos k popisu atomu byl Niels Bohr v roce 1922 odměněn Nobelovou cenou.

Abychom pochopili, jak vzniká spektrum vodíku, musíme v souladu s Bohrem nejprve předpokládat, že hodnoty energií v základním nebo v excitovaném stavu závisí na hodnotě hlavního kvantového čísla \(n\). Značíme je \(E_n\) a můžeme je vyjádřit jednoduchým matematickým vztahem:

Hodnoty energií jsou záporné, protože nulovou hladinu (\(E=0\ \mathrm{eV}\)) jsme zvolili v takovém stavu, kdy elektron již není vázán v atomu. Jde tedy o ionizovaný stav atomu vodíku H⁺.

Dnes atom vodíku popisujeme pomocí kvantové fyziky. Z ní již vyplývá, že energie příslušející jednotlivým stavům atomu vodíku závisí na hlavním kvantovém čísle. V Bohrově době, tj. na počátku 20. století, však myšlenka kvantování energií byla zcela nová a značně revoluční.

Příklad 1

Výpočet energetických hladin vodíku

Na základě vztahu pro energii elektronu vypočítejte energie prvních pěti hladin (\(n=1,2,3,4,5\)). Poté je znázorněte do energetického diagramu a přidejte hladinu odpovídající volnému elektronu (\(n\to\infty\)).

Řešení:

Základní stav odpovídá hlavnímu kvantovému číslu \(n=1\). Je to základní stav atomu vodíku a jeho energie má hodnotu

\[ n=1 \quad\Rightarrow\quad E=E_1=-\frac{E_0}{1^2} = -13{,}6\ \mathrm{eV} \]

Pro první excitovaný stav (\(n=2\)) dostáváme

\[ n=2 \quad\Rightarrow\quad E=E_2=-\frac{E_0}{2^2} = -3{,}40\ \mathrm{eV} \]

Pro druhý excitovaný stav (\(n=3\)) pak platí:

\[ n=3 \quad\Rightarrow\quad E=E_3=-\frac{E_0}{3^2} = -1{,}51\ \mathrm{eV} \]

Čím výše jsou vrstvy, ve kterých se nacházejí elektrony, tím těsněji u sebe jsou jejich energetické hladiny. Jejich energie jsou poměrně blízké, což vidíme na celkovém energetickém diagramu atomu vodíku (viz energetické schéma atomu vodíku na obrázku 25.29).

Příklad 2

Výpočet vlnové délky spektrálních čar vodíku

Vypočítejte vlnovou délku fotonu, který vznikl přeskokem elektronu mezi

1. prvním excitovaným a základním stavem;
2. druhým a prvním excitovaným stavem;
3. třetím a prvním excitovaným stavem;
4. čtvrtým a druhým excitovaným stavem.

Řešení:

Abychom určili velikost vlnové délky fotonu vyzářeného při přeskoku mezi hladinami s hlavními kvantovými čísly \(n\) a \(m\), přičemž \(n>m\), vyjádříme nejprve hodnoty energií příslušejících těmto stavům. Pro počáteční stav \(n\) platí:

\[ E_n = -\frac{E_0}{n^2}\;. \]

Pro koncový stav \(m\) píšeme analogicky

\[ E_m = -\frac{E_0}{m^2}\;. \]

Rozdíl energií lze tedy vyjádřit pomocí vztahu

\[ \Delta E = E_n - E_m = -\frac{E_0}{n^2} - \left(\frac{E_0}{m^2}\right) = E_0\left(\frac1{m^2}-\frac1{n^2}\right) = \frac{hc}{\lambda_{nm}}\;. \]

Odtud pak můžeme vyjádřit požadovanou vlnovou délku odpovídající určitému přeskoku mezi dvěma hladinami vztahem

\[ \frac1{\lambda_{nm}} = \frac{E_0}{hc}\left(\frac1{m^2}-\frac1{n^2}\right) = R_\mathrm{H}\left(\frac1{m^2}-\frac1{n^2}\right)\;, \]

kde jsme pro zjednodušení zavedli Rydbergovu konstantu pomocí

\[ R_\mathrm{H} = \frac{E_0}{hc} \approx 1{,}097\cdot10^{7}\ \mathrm{m}^{-1}\;. \]

Vlnová délka fotonu, který vznikne přeskokem mezi prvním excitovaným stavem (\(n=2\)) a základním stavem (\(m=1\)), je \(\lambda_{21}=121{,}6\ \mathrm{nm}\). Tato vlnová délka odpovídá ultrafialovému záření a je základní čarou v Lymanově sérii ležící v této oblasti. Když budeme počítat přeskoky mezi základní hladinou a dalšími vyššími hladinami, vždy dostaneme ještě vyšší energii (hladiny jsou dále od sebe) a daná čára bude vždy ležet v ultrafialové oblasti.

Vlnová délka fotonu při přeskoku mezi prvním a druhým excitovaným stavem (\(n=3\) a \(m=2\)) je \(\lambda_{32}=656{,}1\ \mathrm{nm}\). To je červená čára ve viditelné oblasti vodíkového spektra označovaná jako H_α. Jde o základní čáru ve viditelné Balmerově sérii. Čára mezi hladinami \(n=4\) a \(m=2\) je opět viditelná, \(\lambda_{42}=486{,}3\ \mathrm{nm}\), je to čára H_β. I další dvě čáry této série jsou viditelné. Naproti tomu u více od sebe vzdálených hladin se již dostáváme do ultrafialové oblasti. Proto ve viditelné části spektra atomu vodíku nalezneme pouze čtyři emisní čáry.

Následující série se jmenuje Paschenova a odpovídá všem přeskokům do druhého excitovaného stavu (\(m=3\)). První čára z této série má vlnovou délku \(\lambda_{43}=1876{,}9\ \mathrm{nm}\) a leží, stejně jako všechny ostatní čáry nepříliš od sebe vzdálených hladin, v infračervené oblasti spektra.

Porovnejte vaše výsledky s hodnotami v obrázku 25.29.

Na následujícím obrázku je znázorněn energetický diagram atomu vodíku. Všimněte si, že vypočtené hodnoty jednotlivých spektrálních čar přesně odpovídají naměřeným hodnotám. Bohrův model umožňoval teoreticky vypočítat pozorované hodnoty vlnových délek spektrálních čar ve spektru atomu vodíku.

Poznámka na okraj: Jemné dělení energetických hladin

Atom vodíku je z hlediska matematického popisu velmi jednoduchý. V jeho elektronovém obalu se nachází jeden elektron, který se sice může vyskytovat v různých diskrétních vzdálenostech od jádra, přesto můžeme tyto energetické hladiny atomu stručně popsat pomocí matematických vzorců.

V případě dalších atomů, které mají větší množství elektronů, je takové energetické schéma podstatně složitější.

Přesto i zde platí: Jakýkoliv přeskok elektronu mezi dvěma energetickými hladinami je doprovázen buď emisí, nebo absorpcí záření, pro jehož vlnovou délku existuje vztah \(E=hf_{nm}=E_n-E_m\). Každý atom má svůj vlastní a jedinečný energetický diagram a jemu odpovídající spektrum.

Dualismus vlna–částice

V této kapitole jsme se seznámili s několika experimenty, jejichž vysvětlení je možné pouze pomocí částicové povahy světla. Z předchozí kapitoly však známe jiné pokusy, které ke svému objasnění vyžadují vlnovou povahu světla.

Kontrolní otázka

Z následující nabídky vyberte experimenty, které není možné vysvětlit pomocí vlnové teorie světla.

fotoelektrický jev;
interference světla;
Comptonův jev;
vznik světla v atomu;
difrakce světla na mřížce;
přímočaré šíření světla v homogenním prostředí.

Odeslat  

Kontrolní otázka

Nyní vyberte experimenty, které není možné vysvětlit pomocí částicové teorie světla.

fotoelektrický jev;
interference světla;
Comptonův jev;
vznik světla v atomu;
difrakce světla na mřížce;
přímočaré šíření světla v homogenním prostředí.

Odeslat  

Přímočaré šíření světla je možné vysvětlit jak vlnově, tak částicově.

Nabízí se logická otázka: Jaká je skutečná podstata světla? Možná vás to překvapí, ale na tuto otázku nedává fyzika jednoznačnou odpověď. Ukázalo se, že jevy spojené s vyzařováním a pohlcováním světla lze vysvětlit pomocí částicového modelu. Naopak pro šíření světla prostorem je vyhovujícím modelem vlnová teorie. Setkáváme se s formulací, že světlo má duální charakter. To znamená, že se někdy projevuje jako vlna, jindy zase jako proud částic.

Ve stejném roce, kdy Compton objasnil interakci RTG záření a volných elektronů, přišel francouzský fyzik Louis de Broglie s převratnou hypotézou. Světlo, na které jsme dříve nahlíželi jako na vlnění, se v některých případech chová jako částice. Co když to platí i opačně? Co když mikroobjekty, na které jsme dosud nahlíželi jako na částice, se někdy chovají jako vlny? De Broglie dokonce navrhl, jak určit vlnovou délku částice, která se pohybuje rychlostí \(v\):

Veličina p v předcházejícím výrazu je součin hmotnosti m a rychlosti v částice. Nazývá se hybnost. Fyzikové provedli zdánlivě jednoduchý pokus, při kterém nechali elektrony procházet dvojštěrbinou, podobně jako světlo. Po průchodu bylo místo dopadu jednotlivých elektronů zaznamenáno pomocí speciální vrstvy, která mění energii elektronu na světlo (viz obrázek).

Ze začátku, kdy na citlivou vrstvu dopadne pouze prvních několik elektronů, se zdá, že jejich poloha je zcela náhodná. Avšak jakmile je jejich množství velké, začneme rozeznávat známý obrazec, jako by šlo o interferenci světla.

Na své cestě prostorem se tedy elektron chová jako vlna. Někdy se říká, že elektron „interferuje sám se sebou“, což ale není přesné, protože v tu chvíli se nejedná o částici. Na citlivé vrstvě už ale bez problémů pozorujeme konkrétní místo dopadu elektronu – částice!

Příklad 1

Jaká je de Broglieho vlnová délka elektronu o energii 10,0 eV?

Řešení:

Nejprve vyjádříme hybnost elektronu \(p=mv\). Za rychlost dosadíme ze vztahu pro kinetickou energii \(v=\sqrt{2E_\mathrm{k}/m}\). Dostáváme tak

\[ p = m\sqrt{\frac{2E_\mathrm{k}}m} = \sqrt{2E_\mathrm{k}m}\;. \]

De Broglieho vlnová délka elektronu má hodnotu

\[ \lambda = \frac{h}{\sqrt{2E_\mathrm{k}m}} = \frac{6{,}63\cdot10^{-34}}{\sqrt{2\cdot10{,}0\cdot1{,}602\cdot10^{-19}\cdot9{,}1\cdot10^{-31}}} = 3{,}88\cdot10^{-10}\ \mathrm{m} = 0{,}388\ \mathrm{nm}\;. \]

Tato vlnová délka odpovídá rozměrům atomu nebo molekuly. Vlnové vlastnosti částic se tedy projevují v rozměru atomů. Toho využíváme, když urychlenými elektrony ozařujeme povrch krystalu a ze vzniklého difrakčního obrazce dokážeme určit rozložení jednotlivých atomů v krystalu.

Pro porovnání ještě vypočítejme de Broglieho vlnovou délku padajícího jablka. Uvažujme hmotnost 130 g a rychlost 5 m/s. Dosazením získáme

\[ \lambda = \frac hp = \frac{h}{mv} = \frac{6{,}63\cdot10^{-34}}{0{,}130\cdot5} = 1{,}0\cdot10^{-33}\ \mathrm{m}\;. \]

Tato vlnová délka je o mnoho desítek řádů menší než rozměr atomu, a proto vlnové vlastnosti padajících jablek nemůžeme pozorovat.

Nejen světlo, ale ani další částice mikrosvěta se zkrátka nechovají jako předměty běžné denní potřeby, kterým bychom pouze zmenšili rozměry. Počínají si velmi podivně a představit si je jednoduše není v našich silách. Naštěstí fyzika dokáže pracovat i s tím, co si nedokážeme představit. Víme, že fyzika popisuje svět pomocí modelů a teorií. Zde jsme narazili na oblast, kde klasické teorie (vlnová i částicová) selhaly, a proto bylo potřeba vytvořit úplně novou teorii – kvantovou fyziku.

Mikroobjekty nejsou ani klasickými částicemi, ani vlněním. Jediný způsob, jak si je „představit“, je ponořit se do studia kvantové fyziky… Niels Bohr kdysi řekl: „Kdo není při setkání s kvantovou teorii šokován, ten ji zcela určitě nepochopil.“ Měl tím na mysli právě onu „rozpolcenost“ mezi částicovou a vlnovou povahou hmoty.