Tíhové zrychlení na Zemi

Úkol: Změřte tíhové zrychlení na povrchu Země.

Vybavení: stojan, závaží, provázek, délkové měřidlo, stopky

Tíhové zrychlení \(g\) je fyzikální veličina charakterizující gravitační pole v blízkosti otáčející se planety nebo jiného velmi hmotného objektu. Udává, s jakým zrychlením by v daném místě padala volně puštěná tělesa (čili bez přítomnosti odporu vzduchu) pozorovaná z povrchu planety. Hodnota \(g\) není konstantní, naopak závisí na mnoha parametrech: na hmotnosti planety, na vzdálenosti daného místa od středu planety, na rychlosti otáčení planety, na nehomogenitách v rozložení hmotnosti planety.

Tíhové zrychlení by zřejmě bylo možné měřit z volného pádu. Se svým učitelem můžete prodiskutovat, jakým experimentálním úskalím byste museli čelit a jaké faktory by nejvíce ovlivnily přesnost výsledku. V tomto návodu vám nabízíme alternativní metodu, metodu spolehlivou a méně náročnou na vybavení – měření \(g\) pomocí kmitů matematického kyvadla.

V tíhovém poli je k pevnému bodu pomocí provázku zavěšeno závaží. Vzdálenost těžiště závaží od bodu závěsu označíme \(L\). Závaží vychýlíme a pustíme bez počáteční rychlosti. Zavěšené těleso začne vykonávat pravidelný kmitavý pohyb kolem rovnovážné polohy. Doba, po které se průběh tohoto pohybu opakuje, se nazývá perioda, označíme ji \(T\).

Za předpokladu, že výchylky tělesa z rovnovážné polohy jsou malé, platí pro \(T\) a \(L\) modelový vztah

kde \(g\) je hledané tíhové zrychlení.

Perioda \(T\) nezávisí na hmotnosti závaží – hmotnost provázku musí být zanedbatelná oproti hmotnosti závaží, odporová síla vzduchu musí být zanedbatelná oproti tíhové síle.

Perioda \(T\) téměř nezávisí ani na velikosti maximální výchylky \(x_\mathrm{M}\) z rovnovážné polohy. Ve skutečnosti, pokud se neodchýlí provázek od svislého směru o úhel \(\alpha_\mathrm{M}\) větší než 10°, bude zkreslení výsledku použitím tohoto přibližného vztahu menší než 0,2 %.

Postup měření:

1. Sestavte experiment a změřte \(L\) na tři platné číslice. Doporučujeme začít s největší délkou provázku, kterou budete postupně zkracovat.
2. Jelikož potřebujeme zjistit rovněž periodu alespoň na tři platné číslice, pro danou délku \(L\) změřte stopkami celkovou dobu trvání 10 kmitů. Periodu \(T\) v sekundách pak zapište na dvě desetinná místa.
3. Krok 1) a 2) opakujte pro jiné délky \(L\). Celkem proveďte 8 měření.
4. Ke každé dvojici \(L\) a \(T\) vypočítejte hodnotu g.
5. Hodnoty g statisticky zpracujte (určete interval spolehlivosti) a výsledek porovnejte se známým tíhovým zrychlením ve vašem městě.

Jak zvážit Jupiter

Úkol: Určete hmotnost Jupiteru.

Vybavení: Program JupLab ke stažení na http://www3.gettysburg.edu/~marschal/clea/juplab.html

Princip:

V tomto praktiku si vyzkoušíte základní metodu, kterou astronomové používají k určování hmotnosti vesmírných objektů. Je založena na obíhání pozorovatelných těles kolem daného objektu a využití 3. Keplerova zákona. Tímto způsobem je možné „zvážit“ Zemi, Slunce, neutronovou hvězdu, naši Galaxii, černou díru, …

Vážení obrovských vesmírných objektů si ukážeme na Jupiteru, největší planetě Sluneční soustavy. Kolem Jupiteru obíhá mnoho měsíců, čtyři největší objevil dalekohledem vlastní konstrukce již v roce 1610 Galileo Galilei (a vyvrátil tak mýtus o tom, že je Země středem vesmíru). Říká se jim galileovské měsíce a jsou to Io, Europa, Ganymed a Callisto. Tyto měsíce obíhají kolem Jupiteru po téměř kruhových trajektoriích. Označíme-li

\(M_\mathrm{J}\) – hmotnost Jupiteru

\(r\) – poloměr kruhové trajektorie vybraného měsíce

\(T\) – dobu oběhu vybraného měsíce kolem Jupiteru

\(G\) – gravitační konstantu,

potom dle 3. Keplerova zákona platí

Gravitační konstantu známe, stačí tedy přímým pozorováním zjistit poloměr trajektorie a oběžnou dobu jednoho Jupiterova měsíce.

Jupiter se svými měsíci se pohybuje téměř ve stejné rovině, v níž obíhá také Země kolem Slunce (rovina ekliptiky). Při pozorování ze Země tedy nevidíme pohyb měsíců jako kruhový, nýbrž jako pohyb po úsečce. Maximální pozorovaná vzdálenost měsíce od středu Jupiteru je rovna poloměru trajektorie \(r\), doba, za níž se dostane z jedné extrémní polohy do téže extrémní polohy, je rovna periodě \(T\). Kvůli střídání dne a noci na pozemské observatoři nelze měsíc pozorovat trvale. Jeho zdánlivou vzdálenost od Jupiteru v závislosti na čase zaznamenáme do grafu, z něhož následně regresní analýzou určíme \(r\) a \(T\).

Reálné astronomické pozorování budeme simulovat pomocí programu JupLab.

Postup:

1. Vyzkoušejte si základní ovládání programu: zvětšení, animace, barvy planet, pohled „shora“, nastavení kroku, …
2. Po dobu 3 týdnů každou noc ve stejnou hodinu pozorujte polohu vybraného měsíce (nastavte krok pozorování 24 h a zaznamenávejte a ukládejte jeho polohu).
3. V základní nabídce zvolte Data → Analyze…. V okně, které se tím otevře, vyberte pozorovaný měsíc.
4. Vykreslenými body proložíme sinusoidu. Nejdříve zadáme přibližné startovací parametry fitování (zjistíte je v grafu odečtením „od oka“) Data → Plot → Fit sine curve → Set Initial Parameters…. V následujícím kroku pomocí posuvníků upravíte sinusoidu tak, aby co nejlépe „seděla“ k experimentálním bodům (hodnota RMS Residual – musí být co nejmenší). Program automaticky vypisuje parametry \(r\) a \(T\) zobrazované sinusoidy.
5. Vypočítejte hmotnost Jupiteru \(M_\mathrm{J}\) a výsledek porovnejte se známou hodnotou.

Úkoly k zamyšlení:

1. Zdůvodněte, proč při pohledu ze Země se nám jeví pohyb Jupiterových měsíců jako kmitavý po úsečce s harmonickým časovým průběhem čili proč máme naměřenými body prokládat právě sinusoidu.
2. V použité simulaci se pohybovaly galileovské měsíce vodorovně. Jak to bude ve skutečnosti, až večer půjdete pozorovat oblohu dalekohledem?
3. Pro šikovné: vymyslete způsob, jak zjistit a vyjádřit \(M_\mathrm{J}\) bez znalosti gravitační konstanty.

Poznámky pro učitele

Přihlášení: File → Log In…

Spuštění simulace: File → Run

Zobrazení: File → Features…

Parametry simulace: File → Timming…

Zaznamenání poloh měsíce: Kliknutím na měsíc se objeví jeho název a aktuální poloha, k zaznamenání použijte tlačítko Record. Tlačítkem Next se měsíc posune o zvolený pozorovací časový interval. Doporučujeme data průběžně ukládat File → Data → Save.

Analýza dat

Uložená data je možné znovu načíst File → Data → Load.

Otevření okna pro analýzu dat: Data → Analyze…

V tomto okně vybereme měsíc Data → Select Moon.

Na obrazovce se objeví graf s naměřenými hodnotami. Body vytvářejí část sinusoidy. Na ose \(x\) je čas (jednotkou jsou dny), na ose \(y\) vzdálenost měsíce od Jupiteru (jednotkou je průměr planety Jupiter). Zobrazenými body v grafu proložíme pomocí počítače co nejpřesněji sinusoidu. Postup při prokládání je následující:

1. Aby byly body co nejvíce roztaženy na obrazovce, nastavíme v nabídce Plot → Set Data Span… počáteční den a dobu (10, 20, 30, 40 nebo 50 dní), která má být v grafu zobrazena.

2. Při pohledu na graf zhruba odhadneme (od oka nebo pomocí myši)

   • počátek sinusoidy, tedy čas, kdy sinusoida protíná osu \(x\) a dále stoupá,
   • dobu jedné periody \(T\),
   • poloměr oběžné dráhy \(r\) = amplitudu sinusoidy.

   Tyto odhadnuté údaje vložíme do tabulky Plot → Fit Sine Curve → Set Initial Parameters…

3. V grafu se objeví sinusoida, která pravděpodobně naměřenými body neprochází přesně. Pomocí tří posuvníků můžeme upravovat počáteční čas, periodu a poloměr trajektorie (amplitudu) tak, aby sinusoida co nejlépe procházela naměřenými body. Čím lepší je proložení sinusoidy, tím menší je hodnota červeného čísla RMS Residual.
4. Pokud je již číslo RMS Residual nejmenší možné, přepneme na jemný posun (Slider sensitivity = Fine) a znovu zkusíme pomocí posuvníků ještě přesněji doladit sinusoidu – tedy snížit číslo RMS Residual.
5. Po dosažení maximální přesnosti proložení sinusoidy odečteme vedle posuvníků přesnou hodnotu periody \(T\) a poloměru \(r\) (amplitudy). Tyto hodnoty poslouží k výpočtu hmotnosti Jupiteru.

Výpočet hmotnosti Jupiteru

1 rok = 365,2422 dní

průměr Jupiteru = 142 796 km

Úkol 3 pro šikovné

Třetí Keplerův zákon platí zřejmě i pro obíhání Země kolem Slunce, platí tedy

\[ \frac{r_\mathrm{Z}^3}{T_\mathrm{Z}^2} = \frac{GM_\mathrm{S}}{4\pi^2} \]

Vydělením rovnice pro Jupiter (v návodu pro žáky) touto rovnicí pro Slunce získáváme

\[ \frac{M_\mathrm{J}}{M_\mathrm{S}} = \frac{\displaystyle\left(\frac{r}{r_\mathrm{Z}}\right)^{\!3}}{\displaystyle\left(\frac{T}{T_\mathrm{Z}}\right)^{\!2}}\;, \]

kde \(r/r_\mathrm{Z}\) je poloměr trajektorie měsíce Jupiteru vyjádřený v astronomických jednotkách (au), \(T/T_\mathrm{Z}\) vyjadřuje periodu oběhu měsíce Jupitera v rocích a \(M_\mathrm{J}/M_\mathrm{S}\) je hmotnost Jupiteru vyjádřená v násobcích hmotnosti Slunce.

Poznamenejme závěrem, že \(1\ \mathrm{au}=149\,597\,870\ \mathrm{km}\) a \(M_\mathrm{S}=1{,}9891\cdot10^{30}\ \mathrm{kg}\).

Měření rychlosti světla

Úkol: Zjistěte rychlost šíření světla ve vakuu z doby zatmění Jupiterových měsíců.

Vybavení: Program JupLab ke stažení na http://www3.gettysburg.edu/~marschal/clea/juplab.html

Princip:

Zjišťování rychlosti světla je mimořádně obtížné, neboť světlo se šíří rychlostí, jejíž velikost o mnoho řádů převyšuje rychlosti těles, se kterými se setkáváme v běžném životě. Historicky první řádově správné měření rychlosti světla vymyslel a provedl v roce 1676 dánský astronom Ole Römer.

Využil k tomu měření časů zatmění Jupiterova měsíce Io. Jeho výsledek \(2{,}14\cdot10^8\ \mathrm{m/s}\) se sice od správné hodnoty \(c=2,99792458\cdot10^8\ \mathrm{m/s}\) liší téměř o 30 %, přesto však nezvratně dokazuje, že světlo má konečnou rychlost. Tedy že i světlo potřebuje určitý čas, aby dospělo z jednoho bodu do druhého. V tomto praktiku si Römerovu metodu vyzkoušíte pomocí počítačové simulace programem JupLab.

Obíhání měsíce Io kolem Jupiteru je naprosto pravidelné a může sloužit jako astronomické hodinky. Dobu, za niž Io učiní jeden oběh, a dostane se tak do stejného místa na obloze (vůči pozorovateli na Zemi), nazýváme synodickou dobou oběhu. Její hodnota je \(T_0=1{,}769861\ \mathrm{dne}\).

V ideálním případě by bylo možné dobu oběhu \(T_0\) jednoduše zjistit jako čas, který uplyne mezi dvěma po sobě následujícími zatměními čili mezi okamžiky, kdy se měsíc Io dostane za Jupiter.

Ve skutečnosti nám ovšem Io někdy „zmizí“ z dalekohledu ještě dříve než za dobu \(T_0\). Měsíc Io je ze Země pozorovatelný, pokud je osvětlen slunečními paprsky. Situace, kdy se dostává do stínu vrženého Jupiterem, je znázorněna na dalším obrázku.

Abychom eliminovali jev vysvětlený na předchozím obrázku 17.57, vhodně vybereme pozorovací polohy. Paprsky rozptýlené Jupiterovým satelitem Io musí přicházet na Zemi vždy z přibližně stejného směru. První pozorování tedy provedeme, když bude Země v bodě A, zhruba dva měsíce po konjunkci Slunce s Jupiterem. Zjistíme tak přesný čas \(t_A\), kdy dojde k zatmění Io, a vzdálenost \(d_A\) – viz obrázek 17.58. Druhé měření provedeme, když bude Země v bodě B, zhruba jeden měsíc před opozicí. Zjistíme tím opět přesný čas \(t_B\), kdy dochází ke druhému zatmění, a vzdálenost \(d_B\). Mezi polohami Země A a B vykoná Io několik oběhů kolem Jupitera.

Při konečné rychlosti šíření světla se o tom, že došlo k zatmění měsíce, dozvíme na Zemi s určitým zpožděním. Čím bude Země od Jupitera dále, tím bude zpoždění větší. Toho použijeme k měření rychlosti světla. Poněvadž je vzdálenost \(d_A\) větší než \(d_B\), je doba šíření světla do bodu A větší než do bodu B. Proto zatmění zaregistrujeme v bodě A se zpožděním \(\Delta t\) oproti zatmění v bodě \(B\). Platí

Rychlost světla se pak vypočítá ze vztahu

Princip:

1. Zjistěte datum a čas, kdy je Jupiter v konjunkci a v opozici File → Observation Date → Jupiter Phenomena

   Datum a čas konjunkce: …

   Datum a čas opozice: …

2. Vyberte si datum přibližně dva měsíce po konjunkci a datum jeden měsíc předcházející opozici.

   Datum pozorování z bodu A: …

   Datum pozorování z bodu B: …

3. Změřte na sekundy přesně, kdy nastane zatmění pozorované z bodu A a bodu B. Využívejte možností programu File → Observation Date → Set Date/Time…, File → Timing → Observation Step a File → Features.

   Přesné datum a čas zatmění pozorované z bodu A: \(t_A={}\)…

   Přesné datum a čas zatmění pozorované z bodu B: \(t_B={}\)…

4. Zjistěte vzdálenost mezi Zemí a Jupiterem ve změřených časech \(t_A\) a \(t_B\): po kliknutí na měsíc Io v hlavním okně programu a stisknutí tlačítka Record se v novém okně zobrazí požadovaná vzdálenost.

   \(d_A={}\)…

   \(d_B={}\)…

   Vzdálenost \(\Delta d = d_A-d_B ={}\)…

5. Kolik času uplynulo mezi A a B? \(t_A-t_B={}\)…

   Zjistěte, kolikrát mezitím Io oběhl Jupiter, a dostal se tak na stejné místo na obloze. Počet oběhů (celé číslo): …

6. Vypočítejte zpoždění \(\Delta t={}\)…

7. Vypočítejte experimentální rychlost šíření světla a porovnejte výsledek se známou hodnotou.